Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

#1

Έστω

$\displaystyle{ A_1 A_2 ...A_\nu }$

ένα κανονικό ν-γωνο

τέτοιο ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{ \frac{1}{{A_1 A_2 }} = \frac{1}{{A_1 A_3 }} + \frac{1}{{A_1 A_4 }} }$

Να βρείτε το πλήθος ν των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.

#2

Η απάντηση είναι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ας είναι

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύει

$\displaystyle{A_{1}A_{2}=2R\sin \frac{\pi}{n}, A_{1}A_{3}=2R\sin \frac{2\pi}{n},A_{1}A_{4}=2R\sin \frac{3\pi}{n}.}$

Τότε η δεδομένη σχέση, γράφεται (έχοντας θέσει $\displaystyle{x=\frac{\pi}{n}}$ )

$\displaystyle{\frac{1}{\sin x}=\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 3x}}.$

Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών και μετατρέποντας τα γινόμενα ημιτόνων σε αθροίσματα, φτάνουμε στην

$\displaystyle{\cos 5x +\cos 2x =\cos 3x +\cos 4x,}$ η οποία γράφεται

$\displaystyle{\cos \frac{7x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{x}{2} \right)=0}$

Όπως εύκολα φαίνεται (αν θυμηθούμε πώς ορίστηκε το

και ότι

), η παρένθεση είναι διαφορετική από το μηδέν.

Άρα $\displaystyle{\cos \frac{7x}{2}=0,}$ και από εδώ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x=\frac{\pi}{7}}$ άρα n=7.

#3

S.E.Louridas · #4

Γεωμετρικά αυτό το διδακτικό πρόβλημα. Είναι σαφές ότι:
${\rm A}_1 {\rm A}_2 = {\rm A}_2 {\rm A}_3 = {\rm A}_3 {\rm A}_4 = a,{\rm A}_2 {\rm A}_3 \parallel {\rm A}_1 {\rm A}_4 ,\;\varepsilon \sigma \tau \omega \;\omega = \mathop {{\rm A}_2 {\rm A}_1 {\rm A}_3 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm A}_3 {\rm A}_1 {\rm A}_4 }\limits^ \wedge .$ Έχουμε :
$\Delta \in {\rm A}_3 {\rm A}_4 ,\mathop {{\rm A}_3 {\rm A}_1 \Delta }\limits^ \wedge = \mathop {\Delta {\rm A}_1 {\rm A}_4 }\limits^ \wedge \,\kappa \alpha \iota \;{\rm E} \in {\rm A}_1 {\rm A}_3 ,{\rm Z} \in {\rm A}_1 {\rm A}_4 :\Delta {\rm E}\parallel {\rm A}_1 {\rm A}_4 ,\Delta {\rm Z}\parallel {\rm A}_1 {\rm A}_3 .$
Αυτό σημαίνει ότι:
${\rm A}_1 {\rm E}\Delta {\rm Z}\;\rho o\mu \beta o\varsigma ,\frac{1} {{\Delta {\rm E}}} = \frac{1} {{{\rm A}_1 {\rm A}_3 }} + \frac{1} {{{\rm A}_1 {\rm A}_4 }}\;\left( * \right) \Rightarrow \Delta {\rm E} = {\rm A}_1 {\rm A}_2 = {\rm A}_2 {\rm A}_3 = {\rm A}_3 {\rm A}_4 .$
Προφανώς ισχύει ότι:
${\rm A}\nu \;\varphi = \mathop {{\rm A}_1 {\rm A}_4 {\rm A}_3 }\limits^ \wedge = \mathop {{\rm E}\Delta {\rm A}}\limits^ \wedge _3 = \mathop {{\rm E}{\rm A}_2 {\rm A}_3 }\limits^ \wedge \Rightarrow \varphi = 2\omega \;\kappa \alpha \iota \mathop {{\rm A}_1 {\rm A}_2 {\rm A}_3 }\limits^\vartriangle \Rightarrow \varphi = \frac{\pi } {2} - 2\omega + \frac{\omega } {2} \Rightarrow$
$\omega = \frac{\pi } {7}.$
Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι η σχέση (*) είναι βασική πρόταση αλλά ταυτόχρονα αποδεικνύεται και εύκολα.

S.E.Louridas

#5

Μια ακόμη λύση βασισμένη στο θεώρμα του Πτολεμαίου υπάρχει στη σελίδα 45 του άρθρου Complex Numbers and Plane Geometry*

http://www.ias.ac.in/resonance/January2008/p35-53.pdf

Δείτε επίσης το πρόβλημα 443 της Πανενωσιακής μαθηματικής Ολυμπιάδας του 1987.

http://olympiads.win.tue.nl/imo/soviet/RusMath.txt

Φιλικά,

Αχιλλέας

dxdy · #6

Αχιλλεα σε ευχαριστουμε για την υψηλου επιπεδου προσφορα σου μεσα απο τις σελιδες της κοινοτητας.Ευχομαι να βρεις μια θεση ανταξια στην πανεπιστημιακη κοινοτητα.

Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Re: Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Re: Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Re: Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Re: Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Re: Αριθμός πλευρών κανονικού πολυγώνου

Μέλη σε σύνδεση