Πολυώνυμο

#1

Συγχαρητήρια για την προσπάθεια
Νομίζω ότι η παρακάτω άσκηση είναι ένα καλό ξεκίνημα για αυτόν τον φάκελο
Έστω P(x)

πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί P(0)

και

να είναι και οι δυο περιττοί
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα

#2

R BORIS έγραψε:Συγχαρητήρια για την προσπάθεια
Νομίζω ότι η παρακάτω άσκηση είναι ένα καλό ξεκίνημα για αυτόν τον φάκελο
Έστω πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές ώστε οι αριθμοί και να είναι και οι δυο περιττοί
Δείξτε ότι το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα

Καλωσόρισμα στον Ροδόλφο, σημαίνον πρόσωπο στα μαθηματικά δρώμενα του τόπου.

Η υπόθεση λέει ότι το p(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0

έχει

και

περιττούς. Για x άρτιο είναι
p(x) = 2(κάτι) + a_0

= περιττός άρα μη μηδενικός.
Για x περιττό είναι (μόντουλο 2) p(x) $\equiv$ a_n.1^n + ... + a_1.1 + a_0

= 1 (mod2) άρα μη μηδενικός.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ιστοσελίδα · #3

και μια διαφορετική λύση

Έστω ότι το πολυώνυμο P(x) έχει ακεραία ρίζα την ρ, τότε ισχύει P(x) = (x – ρ)π(x) όπου το π(x) είναι πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές εφόσον το P(x) έχει ακεραίους συντελεστές.
Η παραπάνω σχέση για x = 0 και x = 1, δίνει:
Ρ(0) = -ρ π(0) και Ρ(1) = (1 – ρ) π(1) με π(0), π(1) ακεραίους.
Αλλά οι αριθμοί Ρ(0), Ρ(1) είναι και οι δύο περιττοί, έχουμε ότι οι αριθμοί - ρ, 1-ρ είναι και οι δύο περιττοί. ΑΤΟΠΟ γιατί οι αριθμοί –ρ, 1 – ρ είναι διαδοχικοί ακέραιοι και δεν μπορεί να είναι και οι δύο περιττοί.
Επομένως το πολυώνυμο δεν μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

#4

Kατ' αρχήν να καλησπερίσω και να καλωσορίσω έναν από τους ''δυνατότερους'' λύτες των τευχών του Ευκλείδη....
Η παρέα μας δυναμώνει, ολοένα και περισσότερο!

Μία προσπάθεια απόδειξης...

Έστω οτι το αναφερθέν πολυώνυμο, έχει ακέραια ρίζα πολλαπλότητας κ (κ>=1, φυσικός), ας είναι ρ. Αποκλείεται ρ=0 γιατί Ρ(0) περιττό.
Τότε έχουμε Ρ(χ)=(χ-ρ)^κ Π(χ) με Π(ρ) όχι μηδέν (1).
Η (1) για χ=0 δίνει... Ρ(0)=(-ρ)^κΠ(0). Αποκλείεται το ρ να είναι άρτιο γιατί τότε Ρ(0) άρτιος. Άρα ρ περιττός.
Η (1) για χ=1 δίνει Ρ(1)=(1-ρ)^κ Π(1). Όμως το 1-ρ είναι άρτιος αφού το ρ είναι περιττός, δηλαδή το Ρ(1) είναι άρτιος. Άτοπο.
Συνεπώς το Ρ(χ) δεν έχει ακέραια ρίζα.

Υ.Γ. μόλις είδα πως δύο συνάδελφοι με πρόλαβαν...

#5

Μία-από άποψη θεωρημάτων-minimal λύση:
'Εστω ότι
$P\left( x\right) =a_{\nu }x^{\nu }+a_{\nu -1}x^{\nu -1}+...+\alpha _{1}x+\alpha _{0}$
Ας πούμε ότι $\rho$ είναι μία ακέραια ρίζα του. Θα είναι
$a_{\nu }\rho ^{\nu }+a_{\nu -1}\rho ^{\nu -1}+...+\alpha _{1}\rho +\alpha _{0}=0$ (1)
και
$a_{\nu }+a_{\nu -1}+...+\alpha _{1}+\alpha _{0}$ =περιττός (2)
Αφαιρώντας από την (1) την (2) και αξιοποιώντας την ταυτότητα $x^{k}-1=\left( x-1\right) \left( x^{k-1}+...+1\right)$ έχουμε ότι
$\left( \rho -1\right)$ επί κάποιο ακέραιο =-m

'Αρα ο $\rho -1$ ως διαιρέτης περιττού είναι. Συνεπώς ο $\rho$ είναι άρτιος. Το άτοπο προκύπτει από την (1). Στο α' μέλος ο $a_{\nu }\rho ^{\nu }+a_{\nu -1}\rho ^{\nu -1}+...+\alpha _{1}\rho$ είναι άρτιος και ο $\alpha _{0}$ είναι περιττός. Το άθροισμα τους είναι ο άρτιος 0.

Η απλή-απλούστατη λύση του Μιχάλη μας υποδεικνύει πόσο κακό είναι που εξοστρακίστηκαν οι ισοτιμίες. Έννοια που εισήγαγε ο Gauss και εξήγαγαν...οι άνθρωποι του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου. Η πλάκα είναι ότι αυτή η θεμελιώδης έννοια διδάσκεται πάρα πολύ εύκολα και τα παιδιά την απολαμβάνουν. Την έχω διδάξει πολλές φορές ακόμη και σε τμήματα που μπήκα για να τα "απασχολήσω". Με την θεωρία Αριθμών τα παιδιά δείχνουν περισσότερο θάρρος από κάποιους έμφοβους μαθηματικούς ιθύνοντες.
Μαυρογιάννης

#6

nsmavrogiannis έγραψε: Έννοια που εισήγαγε ο Gauss και εξήγαγαν...οι άνθρωποι του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

Και να ήσαν μόνο οι εξαγωγές; Έχω επιφυλάξεις και για τις εισαγωγές.

Μιχάλης.

p_gianno · #7

Καλησπέρα
Μια επίσης μινιμαλιστική λύση.

: no integer root.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 2927 φορές

Πάνος

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση