ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

alex88 · #1

ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ! ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΙ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΤΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΜΕΤΡΙΚΩΝ:
-ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ
-PEARSON
-MANHATTAN CITY BLOCK

ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ "MANHATTAN CITY BLOCK".

ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΑΣ!

Α.

#2

alex88 έγραψε:ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ! ΧΡΕΙΑΖΟΜΑΙ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΤΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΜΕΤΡΙΚΩΝ:
-ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ
-PEARSON
-MANHATTAN CITY BLOCK

alex88,

κατ' αρχήν, καλώς όρισες στό mathematica.

Η ερώτησή σου είναι ασαφής: Τί εννοείς μέ τό "ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΤΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΜΕΤΡΙΚΩΝ" ;
Ότι είναι μετρικές ή κάτι άλλο ;

φιλικά

Υ.Γ. Γράφωντας μέ κεφαλαία δέν επισύρει κανείς τήν προσοχή ευκολώτερα καί, από όσο γνωρίζω, τά περισσότερα μέλη τού mathematica δέν έχουν σοβαρά προβλήματα όρασης.

alex88 · #3

Αυτό ακριβώς εννοώ! Απόδειξη για το άν ειναι μετρικές. Αντιμετωπίζω πρόβλημα με την απόδειξη της manhattan :
|x1+y1| + |x2+y2|+...+|xn+yn|

Σας ευχαριστώ!
Α.

#4

Η συνάρτηση $d_1:{\mathbb{R}}^n\times{{\mathbb{R}}^n}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-y_i}|$ , $\overrightarrow{x}=({x_1,x_2,\ldots,x_n})\in{\mathbb{R}}^n$ , $\overrightarrow{y}=({y_1,y_2,\ldots,y_n})\in{\mathbb{R}}^n$ , είναι μετρική.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι

$\rm{i)}$ $d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})\geq0$ καί $d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})=0 \ \Leftrightarrow \ \overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ , γιά κάθε $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in{\mathbb{R}}^n$ καί

$\rm{ii)}$ $d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})=d_1({\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}})$ , γιά κάθε $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in{\mathbb{R}}^n$ .

$\rm{iii)}$ Γιά τήν τριγωνική ανισότητα:
$d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{z}})=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-z_i}|=\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-y_i+y_i-z_i}|\leq\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-y_i}|+\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{y_i-z_i}|=$

$d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})+d_1({\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}})$ , , γιά κάθε $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}\in{\mathbb{R}}^n.\quad\square$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η μετρική $d_1({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-y_i}|$ είναι ειδική περίπτωση τών μετρικών $d_{\rho}({\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}})=\displaystyle\left({\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{n}|{x_i-y_i}|^{\rho}}\right)^{\frac{1}{\rho}}\,, \ 1\leq\rho<+\infty$

#5

Γεια σου alex88.

Αν δε κάνω λάθος η Manhattan δεν είναι όπως λές,αλλά

$\displaystyle{d(\bar{x},\bar{y})=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i} \right|,}$

οπότε :

1) η μη-αρνητικότητα είναι προφανής,
2) $\displaystyle{d(\bar{x},\bar{y})=0}$ αν-ν $\displaystyle{\left|x_{i}-y_{i} \right|=0}$ για κάθε i=1,2,...,n

άρα αν-ν $\displaystyle{\bar{x}=\bar{y}}$
3) η συμμετρία είναι προφανής
3) Με χρήση της $\displaystyle{\left|x_{i}-y_{i} \right|+\left|y_{i}-z_{i} \right|\geq \left|x_{i}-z_{i} \right|}$ έχεις και την ανισότητα του τριγώνου.

alex88 · #6

Σας ευχαριστω πολυ!!

ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Re: ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Re: ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Re: ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Re: ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Re: ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

Μέλη σε σύνδεση