Όρια με ολοκληρώματα

#101

mathxl έγραψε:Τάσο έχω ήδη δώσει μία για 28 , αν βάλουμε 29 την δική σου τότε η ακόλουθη είναι η
30) Να προσδιορίσετε τον πραγματικ'ό αριθμό α ώστε $\displaystyle{L \in \left( {0, + \infty } \right)}$
με $\displaystyle{L = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^\alpha }\int\limits_0^1 {{{\sin }^{2n}}\frac{{\pi x}}{2}dx} }$
Για την τιμή του α που βρήκατε να υπολογίσετε και το όριο L

Αναγόμαστε στη μελέτη του ορίου $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(1/\sqrt{\pi})\Big(n-1/2\Big)^{2n-1/2}\frac{n^{a-n-1/2}}{(n-1)^{n-1/2}}}$ για τις διάφορες τιμές του

.

Η απάντηση αν δεν κάνω λάθος είναι

για $\displaystyle{a\in(-\infty,1/2)}$ , $+\infty$ για $\displaystyle{a\in(1/2,+\infty)}$ και $\displaystyle{1/\sqrt{\pi}}$ για $\displaystyle{a=1/2}$ .

Είναι παρόμοιο με τον υπολογισμό που έχω κάνει εδώ.

Οι λεπτομέρειες αύριο.

Η γραφική παράσταση της $\displaystyle{\Big(x-1/2\Big)^{2x-1/2}\frac{x^{a-x-1/2}}{(x-1)^{x-1/2}}}$ για κάποιες τιμές του

.

Για $\displaystyle{a=1/2}$ έχουμε όριο

. Για $\displaystyle{a<1/2}$ έχουμε

και για $\displaystyle{a>1/2}$ έχουμε $\displaystyle{+\infty}$ .

#102

$\displaystyle{32)}$ Έστω $\displaystyle{f:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}}$ συνεχής. Ας βρεθεί το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac{(2n+1)!}{(n!)^{2}}\Big)^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\big(xy(1-y)(1-y)\big)^{n}f(x,y)\,dx\,dy}$ .

vzf · #103

Έστω

μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση.Υπολογίστε το $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{a}^{b}{f(x)sinnxdx}.$
34)

Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση με a>b.

Αποδείξτε ότι:
$\lim_{n \rightarrow 0}\int_{a}^{b}{|f(x+n)-f(x)|dx}=0.$
35)

Yπολογίστε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{0}^{\sqrt{n}}{\left (1-\frac{x^2}{n}\right)^ndx}.$
36)

Υπολογίστε το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}{x^{-(1+r)}sinx^rsin(nx)dx}.$
37)

Υπολογίστε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{0}^{\infty}{\frac{sinx^2}{x^3}sin(xn)dx}.$

#104

mathxl έγραψε:30) Να προσδιορίσετε τον πραγματικ'ό αριθμό α ώστε $\displaystyle{L \in \left( {0, + \infty } \right)}$
με $\displaystyle{L = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^\alpha }\int\limits_0^1 {{{\sin }^{2n}}\frac{{\pi x}}{2}dx} }$
Για την τιμή του α που βρήκατε να υπολογίσετε και το όριο L

Συμπλήρωση

$\displaystyle{n^{a}\int\limits_0^1 {{{\sin }^{2n}}\frac{{\pi x}}{2}dx\stackrel{\pi x/2=y}{=}n^{a}(2/\pi)\int_{0}^{\pi/2}sin^{2n}y\,dy=n^{a}(1/\pi)\int_{0}^{\pi/2}2sin^{2(n+1/2)-1}y\cdot\cos^{2(1/2)-1}y\,dy=}$

$\displaystyle{n^{a}(1/\pi)B(n+1/2,1/2)=n^{a}(1/\pi)\frac{\Gamma(n+1/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(n+1)}=\frac{n^{a}}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(n+1)}=\frac{n^{a}}{\sqrt{\pi}}\frac{2\sqrt{\pi}\Gamma(2n)}{n!2^{2n}\Gamma(n)}=\frac{n^{a}(2n-1)!}{\sqrt{\pi}n!2^{2n-1}(n-1)!}\stackrel{Stirling}{\approx}}$

$\displaystyle{(1/\sqrt{\pi})\Big(n-1/2\Big)^{2n-1/2}\frac{n^{a-n-1/2}}{(n-1)^{n-1/2}}}$ .

Τη μελέτη του ορίου για τις διάφορες τιμές του

την αφήνω γιατί έχει πολλές πράξεις και νομίζω ότι η ουσία της άσκησης ήταν η αναγωγή στην ποσότητα αυτή.

Το αποτέλεσμα είναι αυτό που γράφω παραπάνω και οι σχέσεις που χρησιμοποιώ για την αναγωγή είναι οι ίδιες με αυτές που καταγράφονται εδώ

#105

vzf έγραψε:Έστω μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση.Υπολογίστε το $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{a}^{b}{f(x)sin(\color{red}n\color{black}x)dx}.$

Αν εννοείς το παραπάνω, τότε πρόκειται για το Λήμμα Riemann - Lebesque, απόδειξη του οποίου υπάρχει εδώ, αλλά και στον τόμο ΙΙα του Νεγρεπόντη σελ.199. Αρκεί η

να είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann.

Συπλήρωση

Η απάντηση είναι 0

#106

mathxl έγραψε:31) Ας δούμε (ένα γράμμα πιο αριστερά στο πληκτρολόγιο Φωτεινή -όπως καταλαβαίνεις, δεν κοιτώ τι γράφω ) και αυτό το όριο
$\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{x\to+\infty }\int\limits_{0}^{x}{\sin\left({{t^{2}}}\right)dt} }$

chris_gatos έγραψε:---->Πατήστε εδώ

Ωmega Man έγραψε:Δες και εδώ.

mathxl έγραψε:Δίνω και μια άλλη λύση που βρήκα με Γ και διπλό ολοκλήρωμα εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... +integrals
ο κόλπο ακόμη πιο γρήγορα και όμορφα εδώ http://www.mathhelpforum.com/math-help/ ... ost44.html

Μια πολύ όμορφη λύση, με χρήση διαφορικών εξισώσεων, για αυτό δίνεται και στο βιβλίο του Andreescu "Advanced calculus on the real axis" p.397

#107

Από όσο έψαξα, δεν κατάφερα να βρω ακριβώς αυτήν τη γενικευση του Λήμματος Riemann - Lebesque που θα διατυπώσω και νομίζω ότι ισχύει.

Αν ισχύει, τότε καλύπτει πολλά από τα παραπάνω όρια ολοκληρωμάτων που παραμένουν άλυτα.

*********************************************************************************

$\displaystyle{\bullet}$ Έστω $\displaystyle{f}$ πραγματική συνάρτηση και $\displaystyle{0\leq a<b\color{red}\leq\color{black}+\infty}$ με $\displaystyle{\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx\in\mathbb{R}}$ και πραγματική συνάρτηση

με $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}g(t)\,dt=L\in\mathbb{R}}$ .

Τότε $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}f(x)g(nx)\,dx=L\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$ .

*********************************************************************************

Έχω ψάξει στο δίκτυο και στο βιβλίο του Makarov selected problems in real analysis, του Andreescu advanced calculus on the real axis, του Nowak problems in real analysis III.

Σύμφωνα με τη δική μου διατύπωση καλύπτεται και η περίπτωση να έχω για την

γενικευμένο ολοκλήρωμα α ή β είδους, το οποίο βέβαια να συγκλίνει απολύτως.

Θα προσπαθήσω να το αποδείξω αργότερα.

#108

vzf έγραψε:Υπολογίστε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\int_{0}^{\infty}{\frac{sinx^2}{x^3}sin(xn)dx}.$

Παίρνω δεδομένο ότι ισχύει η εικασία Κοτρώνη

που διατυπώθηκε παραπάνω.

Κατ' αρχάς έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{n}$ το $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x^2}{x^3}\sin(xn)dx}$ συγκλίνει, αφού

$\displaystyle{\lim_{x\to0+}\frac{\sin x^2}{x^3}\sin(xn)=n}$ και για $\displaystyle{x\in[a,+\infty)}$ με $\displaystyle{a>0}$ είναι $\displaystyle{\Big|\frac{\sin x^2}{x^3}\sin(xn)\Big|\leq x^{-3}}$ με το $\displaystyle{\int_{a}^{+\infty}x^{-3}\,dx}$ να συγκλίνει.

Παρατηρούμε τώρα ότι δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε απευθείας την εικασία Κοτρώνη, γιατί το $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}x^{-3}\sin x^{2}\,dx}$ δε συγκλίνει. (Είναι $\displaystyle{x^{-3}\sin x^{2}\stackrel{x\to0^+}{\sim}1/x}$ και το $\displaystyle{\int_{0}^{1}1/x\,dx}$ αποκλίνει).

Κάνουμε τώρα το εξής:

Γράφουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin x^2}{x^3}\sin(xn)dx=\int_{0}^{1}(x^{-3}\sin x^{2}-1/x)\sin(nx)\,dx+\int_{1}^{+\infty}x^{-3}\sin x^{2}\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{1}\sin(nx)/x\,dx:=I_{1}+I_{2}+I_{3}}$

Για τα $\displaystyle{I_{1},I_{2}}$ τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την εικασία αφού :

$\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{-3}\sin x^{2}-1/x\,dx\in\mathbb{R}}$ διότι $\displaystyle{x^{-3}\sin x^{2}-1/x\stackrel{x\to0^+}{\longrightarrow}0}$ ,

$\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}x^{-3}\sin x^{2}\stackrel{x^{2}=y}{=}(1/2)\int_{1}^{+\infty}y^{-2}\sin y\,dy}$ το οποίο συγκλίνει απόλυτα.

Έχουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{I_{1}\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\sin x\,dx\int_{0}^{1}x^{-3}\sin x^{2}-1/x\,dx=0\cdot\int_{0}^{1}x^{-3}\sin x^{2}-1/x\,dx=0}$ και όμοια

$\displaystyle{I_{2}\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0}$ .

Για το $\displaystyle{I_{3}}$ τώρα είναι $\displaystyle{I_{3}\stackrel{nx=y}{=}\int_{0}^{n}\frac{\sin y}{y}\,dy\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}\pi/2}$ (γνωστό όριο).

Τελικά το όριό μας είναι $\displaystyle{\pi/2}$ .

Υ.Γ. Το σπάσιμο αυτό το κάνει ο Andreescu στο βιβλίο που έχω αναφέρει παραπάνω αλλά η μορφή του Λήμματος Riemann - Lebesque που έχει στο βιβλίο του και την οποία και επικαλείται έτσι απλά, δεν είναι αυτή που χρειαζόμαστε. Χρειαζόμαστε αυτήν έτσι όπως την έχω διατυπώσει..

#109

$\displaystyle{38)}$ Έστω $f:[0,a]\to\mathbb{R}$ μονότονη με συνεχή παράγωγο στο πεδίο ορισμού της.

Βρείτε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{a}f(x)\frac{\sin nx}{x}\,dx}$ .

Μπορεί το αποτέλεσμα να γενικευθεί στην περίπτωση που είναι $\displaystyle{f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}}$ για το αντίστοιχο ολοκλήρωμα;

#110

$\displaystyle{39)}$ Ας υπολογισθεί το όριο

$\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}x^{1-a}\int_{x}^{x+1}\sin(t^{2})\,dt}$ , όπου $\displaystyle{a>0}$

#111

$\displaystyle{40)}$ Έστω $\displaystyle{f(x),g(x)}$ πολυώνυμα στο $\displaystyle{\mathbb{R}[x]}$ με $\displaystyle{deg f(x)=n+1}$ και $\displaystyle{deg g(x)=n}$ , όπου $\displaystyle{n\geq0}$ με θετικούς μεγιστοβάθμιους συντελεστές, έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα.

Ας υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}g(x)\int_{0}^{x}e^{f(t)-f(x)}\,dt}$ .

mathxl · #112

Τάσο, βάζω αρίθμηση 41 και εσύ αν είναι την αλλάζεις
Να υπολογίσετε (αν υπάρχει) το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }$

mathxl · #113

42)
Nα υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\ln\left(\frac{n^{2}+(k-1)^{2}}{n^{2}+k^{2}}\right).$

mathxl · #114

43) Ένα δικό μου
$\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{a\to+\infty }\left({a-\int\limits_{\frac{1}{a}}^{a}{\frac{{dx}}{{1+\left({a-2}\right){x^{1-a}}}}}}\right),x > 0 }$

#115

44) Ας υπολογισθεί το όριο: $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{n}}\,dx}$ .

#116

mathxl έγραψε:43) Ένα δικό μου
$\displaystyle{ \mathop{\lim }\limits_{a\to+\infty }\left({a-\int\limits_{\frac{1}{a}}^{a}{\frac{{dx}}{{1+\left({a-2}\right){x^{1-a}}}}}}\right),x > 0 }$

Τα παρακάτω υποθέτουν ότι το όριο υπάρχει και αφορούν την περίπτωση $\displaystyle{a:=n\in\mathbb{N}}$ .

Έχουμε:

$\displaystyle{n-\int_{1/n}^{n}\frac{1}{1+(n-2)x^{1-n}}\,dx=}$

$\displaystyle{1-\int_{1/n}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx+(n-1)-\int_{1}^{n}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx=}$

$\displaystyle{1-\int_{1/n}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx+\int_{1}^{n}1-\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx=}$

$\displaystyle{1-\int_{1/n}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx+\int_{1}^{n}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx}$ .

Τώρα έχουμε $\displaystyle{\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\stackrel{o\mu}{\longrightarrow}0}$ στο $\displaystyle{[0,1]}$ , άρα

$\displaystyle{1-\int_{1/n}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx\to1}$ . $\displaystyle{\boxed{*}}$

Επίσης, $\displaystyle{\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx\stackrel{\kappa.\sigm.a}{\longrightarrow}\begin{cases}1 & x=1 \\ 0 & x\in(1,+\infty)\end{cases}}$ , όπου

η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο $\displaystyle{[k,+\infty)}$ για κάποιο τυχαίο αλλά σταθερό $\displaystyle{\mathbb{N}\ni k>1}$ .

Γράφοντας τώρα

$\displaystyle{\int_{1}^{n}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx=}$

$\displaystyle{\int_{1}^{k}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx+\int_{k}^{n}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx:=A+B}$ , έχουμε

$\displaystyle{A\to0}$ από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης και $\displaystyle{B\to0}$ λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης στο $\displaystyle{[k,+\infty)}$ . $\displaystyle{\boxed{**}}$

Το όριο λοιπόν είναι 1.

Η περίπτωση που $\displaystyle{a\in\mathb{R}}$ χρειάζεται κάποια παραπάνω επιχειρήματα.

*****************************************************************************************

Λίγο πιο συγκεκριμένα:

Για την $\displaystyle{\boxed{*}}$ έχουμε

$\displaystyle{\int_{1/n}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx<\int_{0}^{1}\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx\to0}$ διότι $\displaystyle{\frac{x^{n-1}}{(n-2)+x^{n-1}}\stackrel{unif}{\longrightarrow}0}$ στο $\displaystyle{[0,1]}$ .

Για την $\displaystyle{\boxed{**}}$ : γράφουμε
$\displaystyle{\int_{k}^{n}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx<\int_{k}^{+\infty}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx}$

και εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει

$\displaystyle{n_{1}<n_{2}\Rightarrow\frac{n_{1}-2}{(n_{1}-2)+x^{n_{1}-1}}>\frac{n_{2}-2}{(n_{2}-2)+x^{n_{2}-1}}}$ για $\displaystyle{n\geq n_{0}>[1/\ln k +2]+1}$ και για $\displaystyle{x\geq k}$ ,

άρα η σύγκλιση του $\displaystyle{\int_{k}^{+\infty}\frac{n-2}{(n-2)+x^{n-1}}\,dx}$ είναι ομοιόμορφη στο $\displaystyle{[n_{0},+\infty)\cap\mathbb{N}}$ .

#117

Ένας όμορφος τρόπος υπολογισμού του $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx}$ :

$\displaystyle{i)}$ Ας υπολογισθεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{\pi}\Big(\frac{2}{t}-\frac{1}{\sin(t/2)}\Big)\sin\Big(n+\frac{1}{2}\Big)t\,dt}$

$\displaystyle{ii)}$ Ας δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{\sin\Big(n+\frac{1}{2}\Big)t}{\sin\frac{t}{2}}=\sum_{k=-n}^{k=n}e^{-ikt}}$ .

$\displaystyle{iii)}$ Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\int_{0}^{\pi}\frac{\sin\Big(n+\frac{1}{2}\Big)t}{\sin\frac{t}{2}}\,dt}$ .

$\displaystyle{iv)}$ Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx}$ .

KapioPulsar · #118

χμμ
Για το iv)

• Θετω $\displaystyle { I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{cosx}{x} dx$ και $\displaystyle{ J=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sinx}{x} dx$

οποτε έχουμε $\displaystyle {Z=I+iJ=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x}(\cos x+i \sin x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x} dx$

•Το πολυώνυμο P(x)=x

εχει πραγματικη ριζα το χ=0
•Η $f(z)=\frac{e^{iz}}{z}$ έχει απλό πόλο και δεν εχει μη πραγματικό πόλο.

Ισχύει οτι $Rezf(z)_{z=0}=\lim_{z \to 0}(z f(z))=\lim_{z \to 0 }e^{iz} =1$ αρα

$\displaystyle{Z=\pi i Res f(z)=\pi i$ , $\displaystyle{I=Re(Z)=0$ , $\displaystyle{J=Im(Z)=\pi$

η $\displaystyle {g(x)=\frac{sinx}{x}$ ειναι άρτια αρα...!!

$\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{sinx}{x} dx=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sinx}{x} dx= \frac{\pi}{2}$

εεε νομιζω οτι ειναι οκ

#119

Ωραία, απλά τα ερωτήματα είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους και οδηγούν με τη σειρά στον υπολογισμό του ολοκληρώματος χωρίς χρήση μιγαδικής ανάλυσης.

Ανεξάρτητοι τρόποι υπολογισμού του ολοκληρώματος υπάρχουν διάφοροι.

(Ερώτηση: Είσαι μαθητής ή δεν έχω καταλάβει σωστά..; Αν είσαι, μπράβο σου!)

KapioPulsar · #120

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ωραία, απλά τα ερωτήματα είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους και οδηγούν με τη σειρά στον υπολογισμό του ολοκληρώματος χωρίς χρήση μιγαδικής ανάλυσης.

Ανεξάρτητοι τρόποι υπολογισμού του ολοκληρώματος υπάρχουν διάφοροι.

(Ερώτηση: Είσαι μαθητής ή δεν έχω καταλάβει σωστά..; Αν είσαι, μπράβο σου!)

Φέτος τελείωσα τη Γ λυκείου!

ευχαριστώ πολυ

Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση