ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

#41

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην ευχάριστη θέση να παρουσιάσω παρακάτω το 86 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου [Πρόταση 11(5)], το οποίο αποτελεί και το 84 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 87 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 85 Κριτήριο.

Κριτήριο 86.
11(5). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι: $\frac{B\Gamma ^{2}}{\Gamma A^{2}}=\frac{\Gamma E}{EA}$ . (α).
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Απόδειξη (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
(α). Ευθύ.
Δηλαδή, αν το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό», θα αποδείξουμε ότι αληθεύει η σχέση (α).
Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό» σύμφωνα με τον σχετικό ορισμό, θα είναι:
$A\Gamma ^{2}$ =ΑΒ.ΒΓ $\Leftrightarrow$ $\frac{B\Gamma }{\Gamma A^{2}}=\frac{1}{AB}\Leftrightarrow\frac{B\Gamma ^{2}}{\Gamma A^{2}}=\frac{\Gamma B}{BA}$
ή $A\Gamma ^{2}$ =ΑΒ.ΒΓ $\Leftrightarrow$ $\frac{B\Gamma ^{2}}{\Gamma A^{2}}=\frac{\Gamma B}{BA}$ . (1).
Αλλά, επειδή η ΒΓ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, θα είναι και: $\frac{\Gamma B}{BA}=\frac{\Gamma E}{EA}$ (2).
Έτσι, η (1) λόγω των (2), γίνεται: $\frac{B\Gamma ^{2}}{\Gamma A^{2}}=\frac{\Gamma E}{EA}$ . Δηλαδή αληθεύει η σχέση (α).

(β). Αντίστροφο.
Δηλαδή, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ αληθεύει η σχέση (α), θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».
Από τη σχέση (α), λόγω της (2), που αληθεύει και εδώ, παίρνουμε:
$\frac{B\Gamma ^{2}}{\Gamma A^{2}}=\frac{\Gamma B}{BA}$ (3).
Έτσι, από την (3), επειδή αληθεύει και εδώ η (1),θα είναι: $A\Gamma ^{2}$ =ΑΒ.ΒΓ, η οποία φανερώνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ θα είναι «χρυσό» (ορισμός).

Παρατηρήσεις.
(α). Το Κριτήριο 86 καταχωρήθηκε στον τόμο 11 και στην παράγραφο 11(5), του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Μετά το παραπάνω κριτήριο 86, τα Κριτήρια «Χρυσού Ορθογώνιου Τριγώ-νου», δικής μου επινόησης ανέρχονται στα 84.
(γ). Είναι φανερό ότι η απόδειξη του κριτηρίου 86, είναι δυνατό να βασισθεί στο Κριτήριο 6 και έτσι να έχουμε έναν άλλο τρόπο απόδειξης.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#42

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην ευχάριστη θέση να παρουσιάσω παρακάτω το 87 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 11(6)], το οποίο αποτελεί και το 85 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 88 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 86 Κριτήριο.

Κριτήριο 87.
11(6). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Ι είναι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι: (ΕΑΒ)=(ΙΑΓ) , (α).
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Απόδειξη (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
(α). Ευθύ.
Δηλαδή, αν το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό», θα αποδείξουμε ότι αληθεύει η σχέση (α).
Αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό», αν Μ είναι το μέσον της ΒΓ τότε σύμφωνα με το Κριτήριο 6, θα είναι με τη σειρά: $AM\bigcap{BE}\bigcap{ \Gamma I}\equiv K{\Leftrightarrow}$ \displaystyle{\frac{BM}{M\Gamma }.\frac{\Gamma E}{EA}.\frac{AI}{IB}=1

\Leftrightarrow} $\frac{\Gamma E}{EA}.\frac{AI}{IB}=1$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\Gamma E}{EA}=\frac{BI}{IA}$ $\Leftrightarrow$
$\frac{\Gamma A}{AE}=\frac{BA}{AI}$ $\Leftrightarrow$ ΑΓ.ΑΙ=ΑΒ.ΑΕ $\Leftrightarrow$ (ΕΑΒ)=(ΙΑΓ) ή $AM\bigcap{BE}\bigcap{ \Gamma I}\equiv K$ $\Leftrightarrow$ (ΕΑΒ)=(ΙΑΓ) (1).
Δηλαδή αληθεύει η σχέση (α).

(β). Αντίστροφο.
Δηλαδή, αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ αληθεύει η σχέση (α), θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».
Από τη σχέση (α) που δίνεται, επειδή και για το αντίστροφο αληθεύει η σχέση (1), σύμφωνα με το Κριτήριο 6, θα είναι: (ΕΑΒ)=(ΙΑΓ) $\Leftrightarrow$ $AM\bigcap{BE}\bigcap{\Gamma I}\equiv K$ , η οποία σημαίνει ότι το τρίγωνο ΑΒΓ θα είναι «χρυσό»(Κριτήριο 6).

Παρατηρήσεις.
(α). Το Κριτήριο 87 καταχωρήθηκε στον τόμο 11 και στην παράγραφο 11(6), του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».
(β). Μετά το παραπάνω κριτήριο 87, τα Κριτήρια «Χρυσού Ορθογώνιου Τριγώνου», δικής μου επινόησης ανέρχονται στα 85.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#43

Αγαπητοί φίλοι,
και σήμερα αισθάνομαι την ανάγκη να επικοινωνήσω μαζί σας για το θέμα μας γενικά.
Λοιπόν φίλοι μου, πιστεύω ότι θα έχετε καταλάβει πως προσπάθειά μου είναι να σας προτρέψω να ασχοληθείτε με την έρευνα, με την οποία ασχολούμαι πάντοτε και εγώ, καθώς από αυτή όλο και κάτι δημιουργικό προκύπτει σε όφελος των Μαθηματικών, το οποίο γοητεύει προσωπικά και τον ερευνητή.
Καλές είναι και οι αποδείξεις γνωστών (τετριμμένων;), ασκήσεων αλλά μόνο για εξάσκηση. Περισσότερο όμως ωφέλιμες και γοητευτικές είναι οι επινοήσεις νέων μαθηματικών προτάσεων με ή χωρίς τις αποδείξεις τους (έστω και αν μερικές από αυτές διαπιστώσεις αργότερα ότι προϋπήρχαν). Αυτός είναι και ο λόγος που συνεχώς εδώ αλλά και αλλού σας προσκαλώ και σας κατευθύνω στην έρευνα, για την οποία αρκεί φαντασία, υπομονή και επιμονή.
Έτσι λοιπόν και το θέμα που εδώ μας απασχολεί, είναι μια απλή ερευνητική προσπάθεια την οποία έχω ξεκινήσει από παλιότερα. Σκέφτηκα όμως να την συνεχίσουμε στη διεύθυνση αυτή εδώ όλοι μαζί, έτσι ώστε να μοιρασθούμε τη χαρά και τη μεγάλη ικανοποίηση, που μας δίνει κάθε ανακάλυψη. Τώρα συνεχίζουμε, δυστυχώς με μικρή συμμετοχή και θα τη συνεχίσω εδώ έστω και μόνος, καθώς πάρα πολλοί την επισκέπτονται, την παρακολουθούν και οι οποίοι πιστεύω ότι όλο και κάτι ωφελούνται, ενώ μερικοί, είναι πολύ πιθανόν, να ακολουθήσουν την συμβουλή μου. Αυτό είναι αρκετό (μέχρι σήμερα την έχουν επισκεφθεί περισσότεροι από 1400 επισκέπτες).
Με όλα τα παραπάνω θέλω επίσης, για μια ακόμη φορά, να σας παροτρύνω για την εδώ ενεργή συμμετοχή όλων σας και ιδιαίτερα των φίλων που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, καθώς αυτά που εδώ ζητούνται είναι απλά και στηρίζονται στα μέχρι τώρα δοσμένα εδώ Κριτήρια.
Αν η προσπάθειά μου αυτή ευοδωθεί, σκέπτομαι να θέσω για έρευνα και πιο δυνατά θέματα, όπως λ. χ. έρευνα επάνω στα απλά αρμονικά εξάγωνα, κ.τ.λ.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#44

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα βρίσκομαι στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω πέντε πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς από 88 μέχρι και 92 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Προτάσεις 11(7) μέχρι και 11(11) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 86 μέχρι και 90 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 93 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 91.

Κριτήριο 88.
11(7). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΔΑΓ)= $\frac{\Gamma A^{2}}{AB^{2}}$
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 89.
11(8). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΔΑΓ)=ΓΔ / ΔΒ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 90.
11(9). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΔΑΓ)=φ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 91.
11(10). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΑΓΘ)= $\varphi ^{2}$
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 92.
11(11). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ και είναι:
(ΑΒΓ) / (ΔΑΓ)=(ΖΔΑ) / (ΖΒΔ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω πέντε κριτηρίων δε θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που έχουμε χρησιμοποιήσει σε άλλα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο. Προτείνουμε στους φίλους να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#45

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα βρίσκομαι στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω πέντε πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς από 93 μέχρι και 97 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 11(12) μέχρι και 11(16) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 91 μέχρι και 95 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι λοιπόν βρισκόμαστε σε απόσταση «αναπνοής» από τον πρώτο στόχο μας των 100 Κριτηρίων και αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 98 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 96.

Κριτήριο 93.
11(12). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΔΒΑ)= ΓΑ / ΑΕ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 94.
11(13). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι: (ΑΒΓ) / (ΔΒΑ)=ΓΔ / ΔΘ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 95.
11(14). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι: ΑΒ / ΒΖ=ΓΑ / ΑΕ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 96.
11(15). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και ότι τα τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι εγγράψιμο,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 97.
11(16). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Ι είναι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι:
ΑΒ / ΑΙ= $\phi ^{2}$ ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω πέντε κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που έχουμε χρησιμοποιήσει μέχρι τώρα σε άλλα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή μας ζητηθούν. Προτείνουμε στους φίλους να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#46

Αγαπητοί φίλοι,
σήμερα ΠΑΝΗΓΥΡΊΖΟΥΜΕ, καθώς έχουμε τη χαρά να παρουσιάσουμε το ΕΚΑΤΟΣΤΌ ΚΡΙΤΉΡΙΟ, που ήταν και ο πρώτος μας στόχος, ενώ βάζουμε πλώρη αισίως για το δεύτερο στόχο μας, που είναι το 150 Κριτήριο.
Συγκεκριμένα βρίσκομαι στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω πέντε πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς από 98 μέχρι και 102 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 11(17) μέχρι και 11(21) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 96 μέχρι και 100 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι λοιπόν, αναζητάμε πλέον όλοι μαζί το Κριτήριο 103 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 101.

Κριτήριο 98.
11(17). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι: (ΔΒΑ)=(ΑΓΘ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 99.
11(18). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ι το ίχνος της συμ-μετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΓ, και είναι: (ΑΓΙ)=(ΒΓΖ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 100.
11(19). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και το τρίγωνο ΑΕΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 101.
11(20). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: (ΑΒΕ)=(ΒΓΤ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 102.
11(21). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι: τρίγωνο ΑΕΖ= τρίγωνο ΘΕΓ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω πέντε κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που έχουμε χρησιμοποιήσει μέχρι τώρα σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο, ή μας ζητηθούν.
Προτείνουμε στους φίλους να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις, αλλά και να συνεισφέρουν στην επίτευξη του δεύτερου στόχου μας.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#47

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην ευχάριστη θέση να παρουσιάσω παρακάτω τo 103 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Πρόταση 11(22)],το οποίο αποτελεί και το 101 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 104 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 102 Κριτήριο.

Κριτήριο 103.
11(22). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΓΑ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι: ΕΙ=ΙΒ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή η απόδειξη του κριτηρίου 103 είναι απλή και ανάλογη με άλλες που έχουν προηγηθεί, δε θα τη δώσω τώρα. Πιθανόν να τη δώσω αργότερα, αν κριθεί σκόπιμο ή μου ζητηθεί.
Όμως προτείνω, στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τη δική τους απόδειξη.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#48

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, από 104 μέχρι και 106 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου»[Προτάσεις 11(23) μέχρι και 11(25) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 102 μέχρι και 104 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 107 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 105.

Κριτήριο 104.
11(23). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: (ΔΒΑ) = (ΒΓΤ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 105.
11(24). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: ΓΒ / ΒΔ=ΑΓ / ΓΤ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 106.
11(25). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και είναι: (ΒΑΕ)=(ΑΓΘ),
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#49

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην πολύ ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 107 και 108 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» [Προτάσεις 11(26) και 11(27) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 105 και 106 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 109 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 107.

Κριτήριο 107.
11(26). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: ΔΖ = ΓΤ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 108.
11(27). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: $\Gamma T^{2}$ =ΤΕ.ΕΓ,
τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#50

Αγαπητοί φίλοι,
βρίσκομαι στην ευχάριστη θέση να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 109 και 110 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» [[καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 11(28) και 11(29) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 107 και 108 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 111 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 109.

Κριτήριο 109.
11(28). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, και είναι: (ΑΓΘ) = (ΒΓΖ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 110.
11(29). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: (ΒΓΖ)=(ΒΓΤ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#51

Αγαπητοί φίλοι,
μετά την ολιγοήμερη απουσία μου στη Χαλκιδική, έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 111 και 112 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» [ καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 11(31) και 11(32) αντίστοιχα (τόμος 11), του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], τα οποία αποτελούν και τα 109 και 110 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 113 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 111.

Κριτήριο 111.(Αφιερώνεται στον φίλο Γιώργο Ρίζο).
11(31). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), $M_{a}$ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ, Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: Α $M_{a}$ $\perp$ ΒΤ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 112.
11(32). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και είναι: ΒΤ=ΑΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Παρατήρηση.
Το Κριτήριο 111 αφιερώθηκε στον αγαπητό φίλο Γιώργο Ρίζο, «τιμής ένεκεν»,
καθώς μας έχει χαρίσει το Κριτήριο 66, που είναι σχετικό με το Κριτήριο 111.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#52

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να εκπληρώσω υπόσχεσή μου, αλλά και επειδή θα μας χρειασθούν να τα χρησιμοποιήσουμε στην εν συνεχεία προσπάθειά μας, προτείνω για απόδειξη την παρακάτω δέσμη κριτηρίων, ενώ θα ακολουθήσουν και άλλες δέσμες κριτηρίων «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου».
Οι αποδείξεις των κριτηρίων αυτών είναι εύκολες, ενώ περιέχονται στον τόμο 10 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας». Αν μου δοθεί ευκαιρία θα δώσω και εγώ τις αποδείξεις των κριτήρια αυτών, εφόσον φυσικά δεν θα έχουν δοθεί στο μεταξύ από φίλους.
Προκειμένου να συνεχισθεί απρόσκοπτα το κυνήγι πρωτοεμφανιζόμενων σχετικών κριτηρίων μπορούν οι φίλοι να χρησιμοποιούν για να στηρίξουν τις αποδείξεις τους, στις εκφωνήσεις των κριτηρίων που θα έχουν δοθεί, έστω και αν δεν έχουν δοθεί οι αποδείξεις τους:

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
μετά από διακοπές στην ιδιαίτερη πατρίδα μου Θουρία Καλαμάτας. όπου συναντηθήκαμε μετά από 57 χρόνια, με το συμπατριώτη και φίλο Αντώνη Κυριακόπουλο*, δίνω παρακάτω τη Δέσμη Κριτηρίων 4, «χρυσού» ορθογώνιου τριγώνου, όπως έχω υποσχεθεί:

Δέσμη Κριτηρίων 4.

Κριτήριο 29.
10ι(142). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Ι είναι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ, Η είναι η τομή των ΑΔ,ΒΕ και η ΘΗΙ είναι ευθεία, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Κριτήριο 45.
10ι(164). Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(γων.Α=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ και το Θ είναι χρυσή τομή του ΒΓ , τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο αυτό είναι «χρυσό».

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Υ.Γ. * Κατά την παραπάνω συνάντησή μας, σε μια πολύ φιλική και εγκάρδια ατμόσφαιρα, θυμηθήκαμε τη μαθητική μας ζωή στο Πρακτικό Λύκειο Καλαμάτας και όχι μόνο. Στη συνάντησή μας αυτή προσεκλήθη και παρέστη οι αγαπητή σε όλους μας συμπατριώτισσα μου Φωτεινή (σύγχρονη Υπατία). Η συνάντηση αυτή ήταν πολύ ευχάριστη, χρήσιμη και εποικοδομητική. Θα μου μείνει αξέχαστη.

.

#53

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω τρία πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 113, 114 και 115 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/113, 5/114 και 5/115 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία αποτελούν και τα 111, 112 και 113 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 116 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 114.

Κριτήριο 113.
5/113. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ εί-ναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ και ΒΕ και το τρίγωνο ΔΘΗ είναι «χρυ-σό», τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 114.
5/114. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Τ είναι η προβολή του Θ στην ΑΓ και το Τ είναι χρυσή τομή της ΑΓ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 115.
5/115. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ εί-ναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Η είναι η τομή των ΑΔ και ΒΕ και η ΔΕ είναι κάθετη στην ΘΗ, τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 40 του συνημμένου μου 51).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Παρατήρηση.
Μετά και το παραπάνω κριτήριο 114, βλέπουμε ότι:
Τα Ι, Ζ είναι χρυσές τομές του ΑΒ (κριτήρια 46, 10 αντίστοιχα).
Τα Δ, Θ είναι χρυσές τομές του ΒΓ (κριτήρια 3, 45 αντίστοιχα).
Τα Δ, Θ είναι χρυσές τομές του ΒΓ (κριτήρια 3, 45 αντίστοιχα).
Τα Τ, Ε είναι χρυσές τομές του ΑΓ (κριτήρια 114, 7 αντίστοιχα).

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#54

Κριτήριο 116.

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να σας δώσω με το παρακάτω συνημμένο μου 54, τo 116 πρωτοεμφανιζόμενο Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» (έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 5/116 του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου "Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο κα τα Παράγωγά του"),το οποίο αποτελεί και το 114 Κριτήριο δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το 117 Κριτήριο «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το 115 Κριτήριο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#55

Αγαπητοί φίλοι,
έχω τη χαρά να παρουσιάσω τα παρακάτω δύο πρωτοεμφανιζόμενα Κριτήρια με αριθμούς, 117, 118 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου» ( καταχωρήθηκαν στις παραγράφους 5/117, 5/118 αντίστοιχα, του νεοδημιουργούμενου βιβλίου μου με τίτλο «Το Χρυσό Ορθογώνιο Τρίγωνο και τα Παράγωγά του»), τα οποία (Κριτήρια) αποτελούν και τα 115, 116 Κριτήρια δικής μου επινόησης.
Έτσι, αναζητάμε πλέον αισίως όλοι μαζί το Κριτήριο 119 «χρυσού ορθογώνιου τριγώνου», ενώ προσωπικά αναζητώ το Κριτήριο 117.

Κριτήριο 117.
5/117. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ, Θ είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας ΔΑΓ στην ΒΓ, ή το Θ είναι η προβολή του Ε στην ΒΓ, Ι το ίχνος της συμμετροδιαμέσου της γωνίας Γ στην ΑΒ και είναι (ΑΓΙ)=(ΑΓΘ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Κριτήριο 118.
5/118. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (γωνΑ=1 ορθή και ΑΓ>ΑΒ), Δ είναι η προβολή του Α στην ΒΓ, Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, Ε το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Β στην ΑΓ και είναι (ΒΑΕ)=(ΒΓΖ), τότε και μόνο τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι «χρυσό».

Αποδείξεις (Σχήμα 43 του συνημμένου μου 54).
Δικές μας αποδείξεις των παραπάνω τριών κριτηρίων δεν θα δοθούν, καθώς αυτές είναι εύκολες, αφού επιτυγχάνονται με ανάλογους τρόπους με εκείνους που ήδη έχουμε χρησιμοποιήσει σε προηγούμενα Κριτήρια. Θα τις δώσουμε όμως αν κριθεί σκόπιμο ή αν μας ζητηθούν.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που αγαπούν και ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

Jeronymo Simonstone · #56

Στοιχεία από τα παραπάνω 18 κριτήρια έχουν δημοσιευθεί και με σχετική εργασία μου στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» [Τεύχος 9 / Δεκ 2000, σελίδα 20]}.

Πιστεύεις ότι υπάρχει λόγος να διδάσκονται χρυσά ορθογώνια τρίγωνα οι μαθητές του Λυκείου στον 21ο αιώνα;

υγ. άκυρο, μα τι λέω... εδώ υπερσκέλισες και τον Ευκλείδη, με τα "Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας"
Ας μην με παρεξηγήσουν οι συνάδελφοι, τώρα που θα δηλώσω
πως "Τα" Στοιχεία ανήκουν σε μια σφαίρα κατακτήσεων του πνεύματος που καλό είναι να μην αναμοχλεύεται.
Αλλιώς, πως θα σας φαινόταν να εμφανιστεί ο συγγραφέας του "Νέου Προμηθέα Δεσμώτη";

#57

Jeronymo Simonstone έγραψε:

Στοιχεία από τα παραπάνω 18 κριτήρια έχουν δημοσιευθεί και με σχετική εργασία μου στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο» [Τεύχος 9 / Δεκ 2000, σελίδα 20]}.

Πιστεύεις ότι υπάρχει λόγος να διδάσκονται χρυσά ορθογώνια τρίγωνα οι μαθητές του Λυκείου στον 21ο αιώνα;

υγ. άκυρο, μα τι λέω... εδώ υπερσκέλισες και τον Ευκλείδη, με τα "Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας"
Ας μην με παρεξηγήσουν οι συνάδελφοι, τώρα που θα δηλώσω
πως "Τα" Στοιχεία ανήκουν σε μια σφαίρα κατακτήσεων του πνεύματος που καλό είναι να μην αναμοχλεύεται.
Αλλιώς, πως θα σας φαινόταν να εμφανιστεί ο συγγραφέας του "Νέου Προμηθέα Δεσμώτη";

Αγαπητέ Jeronymo

συγχέεις "τά μαθηματικά [εδώ Ευκλείδεια Γεωμετρία] πού πρέπει νά διδάσκονται" μέ τά μαθηματικά τά ίδια.
Δηλαδή θά πρέπει νά δημοσιεύονται, ακόμα καί σε περιοδικά γιά τό Λύκειο, μόνο τά μαθηματικά πού πρέπει νά διδάσκονται ;

Όσο γιά τό περιεχόμενο τού υστερογράφου σου, τό οποίο δέν νομίζω ότι αξίζει κάποιον σχολιασμό, νά σημειώσω ότι:
Ο Νίκος Κυριαζής δημοσιεύει μαθηματικά [εδώ Ευκλείδεια Γεωμετρία], ενώ η δική σου απάντηση δέν ξεπερνά τήν φαιδρή ειρωνία.

Υ.Γ. Νά θυμήσω, σέ όποιον τό έχει λησμονήσει ή τού διαφεύγει, ότι τό mathematica είναι ιστότοπος μαθηματικών.

chris · #58

Jeronymo Simonstone έγραψε: Πιστεύεις ότι υπάρχει λόγος να διδάσκονται χρυσά ορθογώνια τρίγωνα οι μαθητές του Λυκείου στον 21ο αιώνα;

υγ. άκυρο, μα τι λέω... εδώ υπερσκέλισες και τον Ευκλείδη, με τα "Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας"
Ας μην με παρεξηγήσουν οι συνάδελφοι, τώρα που θα δηλώσω
πως "Τα" Στοιχεία ανήκουν σε μια σφαίρα κατακτήσεων του πνεύματος που καλό είναι να μην αναμοχλεύεται.
Αλλιώς, πως θα σας φαινόταν να εμφανιστεί ο συγγραφέας του "Νέου Προμηθέα Δεσμώτη";

Εδώ αν και μαθητής θα μου επιτρέψετε να διαφωνήσω κάθετα. Η έρευνα δεν επιδέχεται συγκρίσεις μεταξύ των επιστημόνων και των έργων τους και σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να υποτιμάται η αξία της γιατί αυτή οδήγησε τα μαθηματικά σε αυτό το στάδιο που βρίσκονται σήμερα.Ο ερευνητής δεν πρέπει να διακατέχεται απο εγωισμούς αλλά και ούτε να πιστεύει οτι δεν έχει τη δυνατότητα να προσφέρει κάτι στην επιστήμη του διότι σε διαφορετική περίπτωση ποιός θα ήταν ο συνεχιστής των έργων των μεγάλων μαθηματικών?Ποιός θα αναβάθμιζε αυτή τη μεγάλη επιστήμη των μαθηματικών(και κάθε επιστήμη...) αν όλοι επαφίονταν στις ήδη υπάρχουσες γνώσεις και ανακαλύψεις?Η επιστήμη θα έμενε στάσιμη ,με οτι αυτό συνεπάγεται σε όλους τους τομείς, και αυτό είναι που δεν θέλουμε...
Προσωπικά εκτιμώ ιδιαίτερα την προσπάθεια-έρευνα του κ.Κυριαζή και παρακολουθώ το θέμα γιατί βλέπω πως μπορεί ένα θέμα να αντιμετωπιστεί απο πολλές προοπτικές και όχι μόνο...
Φυσικά δεν υποννοώ οτι πρέπει να διδάσκονται χρυσά ορθογώνια τρίγωνα οι μαθητές Λυκείου όμως άλλο διδαχή και άλλο έρευνα!!!
(κ. Γρηγόρη συγνώμη για την <<εξωμαθηματική>> παρέμβαση)

ΥΓ:Φυσικά όλα τα παραπάνω είναι προσωπικές απόψεις...

Κώστας Παππέλης · #59

Αν παρατηρήσουμε τα περισσότερα ποστ του Jeronymo Simonstone θα δούμε πολύ εύκολα ότι το 90% αυτών ανήκουν στο 'χαβαλέ'. Οπότε ας τον πάρουμε στο 'χαβαλέ' και ας συνεχίσουμε ακάθεκτοι. Δεν αξίζει σε ιστότοπο μαθηματικών να ασχολούμαστε πολύ με spammers.

Τέλος, αυτό που θα πρότεινα εγώ είναι ο κύριος Κυριαζής να ανοίξει ένα τόπικ με κάποιο διαφορετικό θέμα αναζήτησης κριτηρίων που τον έχει απασχολήσει, αφού έχουν μαζευτεί ήδη αρκετά από αυτό για να αλλάξουμε παραστάσεις. Επανερχόμαστε στο μέλλον.

#60

Αγαπητοί φίλοι,
δε θα απαντήσω στον κ. Jeronymo Simonstone, γιατί δεν αξίζει τον κόπο. «Η σιωπή μου σε απάντησή του».
Θέλω όμως να ευχαριστήσω όλους τους φίλους που έσπευσαν να βάλουν τα πράγματα στη σωστή τους διάσταση.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 214 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 87 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 88 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 88 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 93 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 98 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 103 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 104 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 107 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 109 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 111 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 113 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 63 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓΩ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 116 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 117 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ ΤΟ 119 ΚΡΙΤΉΡΙΟ ΧΡΥΣΟΥ ΟΡΘ. ΤΡΙΓ

Μέλη σε σύνδεση