Βρείτε τη γωνία χ (20)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ${\rm A}\widehat{\rm B}\Delta = \Delta \widehat{\rm B}\Gamma = x$ , ${\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = 2x$ και ΑΔ=ΒΓ. Βρείτε τη γωνία x.

: x20.jpg (93.78 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μία γρήγορη λύση με τον οδοστρωτήρα της Τριγωνομετρίας.
Θα αναζητήσω και Γεωμετρική...

Από Ν. Ημιτόνων στο ΒΓΔ: $\displaystyle \frac{{B\Gamma }}{{\eta \mu \left( {180^\circ - 3x} \right)}} = \frac{{B\Delta }}{{\eta \mu 2x}}$

Από Ν. Ημιτόνων στο ΒΑΔ: $\displaystyle \frac{{A\Delta }}{{\eta \mu x}} = \frac{{B\Delta }}{{\eta \mu \left( {180^\circ - 4x} \right)}}$

με $\displaystyle 0 < x < 45^\circ$

Αφού ΑΔ = ΒΓ, είναι:

$\displaystyle \frac{{\eta \mu 2x}}{{\eta \mu 3x}} = \frac{{\eta \mu 4x}}{{\eta \mu x}} \Leftrightarrow \eta \mu 2x \cdot \eta \mu x = \eta \mu 3x \cdot \eta \mu 4x \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu 3x = \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu 7x$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu 7x = \sigma \upsilon \nu 3x\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 7x = 360^\circ + 3x\; \Rightarrow x = 90^\circ \kappa \\ 7x = 360^\circ - 3x\; \Rightarrow x = 36^\circ \kappa \\ \end{array} \right.\;\;k \in Z$

Μοναδική δεκτή λύση x = 36°.

Γιώργος Ρίζος

#4

Rigio έγραψε: Θα αναζητήσω και Γεωμετρική...

Σκάβοντας στην άμμο, όπου ο Μιχάλης είχε κρύψει το σχήμα του, έφερα στην επιφάνεια το υπόλοιπο.
Δίχως πολλά λόγια, παρατηρήστε στο παρακάτω σχήμα ότι το τρίγωνο της υπόθεσης είναι κρυμμένο στο κανονικό 10γωνο του σχήματος.

: 16-07-2010 geometry.png (240.83 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Την ιδέα μου έδωσε η παρατήρηση του Χρήστου (βλέπετε παραπάνω), για το λόγο ΑΒ/ΑΔ.

(Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε και με Θ. Διχοτόμων...)

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #5

Ευχαριστώ τον Γιώργο για τις ωραίες λύσεις του καθώς και τον Χρήστο για την παρατήρησή του.

Άλλη μια γεωμετρική λύση:

Θέτω ${\rm A}\Delta = {\rm B}\Gamma = \alpha$ και $\Gamma \Delta = \beta$ . Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ θα ισχύει ${\rm A}{\rm B} = \alpha + \beta$ . Με κέντρο $\Gamma$ και ακτίνα $\Gamma \Delta$ κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση της ${\rm B}\Gamma$ στο ${\rm E}$ . Εφόσον το τρίγωνο $\Gamma \Delta {\rm E}$ είναι ισοσκελές και η εξωτερική γωνία ${\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = 2x$ , έπεται ότι $\Gamma \widehat{\rm E}\Delta = \Gamma \widehat\Delta {\rm E} = x$ . Από την ισότητα των τριγώνων ${\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm B}\Delta {\rm E}$ (Π-Γ-Π) συμπεραίνουμε ότι ${\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma = x$ και από το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ έχουμε: $5x = {180^ \circ } \Rightarrow x = {36^ \circ }$ .

: x20-sol.jpg (44.48 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

p_gianno · #6

τργΒΑΓ ισοσκελές.
Αν ΔΕ//ΒΓ τότε γωνΑΔΕ=ΑΓΒ=2x (1) και επιπλέον ΒΓΔΕ ισοσκελές τραπέζιο (2) στο οποίο γωνΕΔΒ=ΔΒΓ=ΔΒΕ=x συνεπώς ΕΔ= ΒΕ και λόγω (2) ΕΔ=ΔΓ (3)
Λόγω (1) ,(3) και της υπόθεσης ΒΓ=ΑΔ προκύπτει ότι τργΕΑΔ=τργΓΒΔ --- > γωνΓΒΔ=ΕΑΔ=ΒΑΓ=x
τργΑΒΓ: Α+Β+Γ=180ο --- >5χ=180ο --- > x=36ο

Βρείτε τη γωνία χ (20)

Βρείτε τη γωνία χ (20)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

Μέλη σε σύνδεση