Μιγαδική ανάλυση - Αρχή μεγίστου

MoV · #1

Έστω κανονικό n-γωνο με πλευρές $E_k=\{z \in C :z= (1-t)*z_k+t*z_{k+1},t \in [0,1] , z_k=e^{i \frac{2 \pi k}{n}}\}$ για k=0,...,n-1

.
Έστω ακόμα μιγαδική συνάρτηση f η οποία είναι αναλυτική στο $I=\{ z=r_1e^{i \theta} \in C : \exists k \exists w : w \in E_k , w=r_2*e^{i \theta} , r1 \leq r2 \} \cup \{ 0 \}$
και επιπλέον $|f(z)| \leq k+1 ,\forall z \in E_k$ για k=0,...,n-1

.
Να δείξετε ότι $|f(0)| \leq (n!)^\frac{1}{n}$ .

Nick1990 · #2

Η συναρτηση

οριζεται και ειναι ολομορφη στο εσωτερικο του n-γωνου το οποιο ειναι ενα απλα συνεκτικο πεδιο, αλλα και στο συνορο του n-γωνου.
Θετουμε $F(z) = \prod_{k=0}^{n-1}{f(ze^{\frac{i2k\pi}{n}})}$
Η συναρτηση αυτη ειναι ολομορφη στο ιδιο κλειστο χωριο, και η τιμη της στο 0 ειναι f^n(0)

, οποτε αφου απο την αρχη του μεγιστου η συναρτηση αυτη θα παιρνει την κατα μετρο μεγιστη τιμη της στο συνορο του χωριου αυτου, θα εχουμε:
$|f^n(0)| \leq |\prod_{k=0}^{n-1}{f(z_0e^{\frac{i2k\pi}{n}})}| \leq (0+1)(1+1)...(n-1+1) = n!$
αφου ο z_0

ανηκει σε καποια πλευρα E_m

του κανονικου n-γωνου και κατα συνεπεια η στροφη κατα γωνια $\frac{2k\pi}{n}$ θα το στειλει στην πλευρα $E_{m+k(modn)}$ οποτε και το μεγιστο γινομενο μετρων θα ειναι πανω στα ανω φραγματα του μετρου της συναρτησης f πανω σε ολες τις πλευρες του n-γωνου (Η αποδειξη του τελευταιου ειναι απλη με ομοιοτητες τριγωνων, και απο αυτο προκειπτει επισης οτι οταν ο z ανηκει στο εσωτερικο του n-γωνου τοτε ολοι οι αριθμοι $ze^{\frac{i2k\pi}{n}}, k=1,2,...,n-1$ βρησκονται επισης στο εσωτερικο του n-γωνου οποτε και η συναρτηση F ειναι καλα ορισμενη.)

Edit: Εφαγα τα μετρα...

MoV · #3

Πολύ ωραία Νίκο

Μιγαδική ανάλυση - Αρχή μεγίστου

Μιγαδική ανάλυση - Αρχή μεγίστου

Re: Μιγαδική ανάλυση - Αρχή μεγίστου

Re: Μιγαδική ανάλυση - Αρχή μεγίστου

Μέλη σε σύνδεση