βραδυνό ολοκλήρωμα 89

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το
$\displaystyle\int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x$

#2

$\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[m]{1-x^n}dx\overset{x^n=u}{=}\frac{1}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}u^{\frac{1}{n}-1}(1-u)^{\frac{1}{m}}du=\frac{1}{n}B\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}+1\right)=\frac{1}{n}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}+1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}=\frac{1}{nm}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}$
Όμοια $\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[n]{1-x^m}dx=\frac{1}{mn}\frac{\Gamma \left(\frac{1}{m}\right)\Gamma \left(\frac{1}{n}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+1\right)}}$

Τελικά $\displaystyle{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[2012]{1-x^{2010}}-\sqrt[2010]{1-x^{2012}}\right)dx=0}$

mathxl · #3

Μία άμεση λύση προκύπτει αν σκεφτούμε την αντίστροφη της $\displaystyle{{\sqrt[{2012}]{{1 - {x^{2010}}}}}}$
στο [0,1]

βραδυνό ολοκλήρωμα 89

βραδυνό ολοκλήρωμα 89

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 89

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 89

Μέλη σε σύνδεση