Διχοτομος εμβαδου-περιμετρου

[teo]

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και ΕΖ το ζητουμενο τμημα οπου Ε,Ζ στις ΑΒ,ΒΓ αντιστοιχα με ΒΕ=χ και ΒΖ=ψ.Τοτε (ΒΕΖ)/(ΑΒΓ)=1/2 δηλαδη χψ=1/2 αγ.Αλλα χ+ψ=(α+β+γ)/2=τ αρα τα χ,ψ ειναι ριζες της εξισωσης κ^2-τκ+1/2 αγ=0 δηλαδη χ=τ/2 +-(τ^2/4-αγ/2)^(1/2) και ψ=τ/2-+(τ^2/4-αγ/2)^(1/2).Υπαρχει λυση μονο οταν τ^2/4>=αγ/2.Τα χ,ψ ειναι παντα θετικα εφοσον τ/2>(τ^2/4-αγ/2)^(1/2). ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ:Στην προεκταση της ΓΒ παιρνουμε τμημα ΒΔ=1/2 γ και με διαμετρο ΔΓ γραφουμε ημικυκλιο το οποιο τεμνεται απο την καθετη στο Β επι της ΒΓ στο Η.Τοτε ΒΗ^2=ΒΔ .ΒΓ=αγ/2.Ο κυκλος (Η,τ/2) τεμνει την ΔΓ στο Κ και ΒΚ=(ΚΗ^2-ΒΗ^2)^(1/2)=(τ^2/4-αγ/2)^(1/2).Συνεπως χ=τ/2+(τ^2/4-αγ/2)^(1/2)=ΒΕ και ψ=τ/2-(τ^2/4-αγ/2)=ΚΘ-ΒΚ=ΒΘ οπου Θ το αντιδιαμετρικο του Γ.Λαμβανουμε στην ΒΓ τμημα ΒΖ=ΒΘ και ΕΖ ειναι η ζητουμενη ευθεια .Για να εχει λυση το προβλημα πρεπει α>β>γ.