Ένα όμορφο όριο (1)

MoV · #2

$\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ln \left ( \prod_{i=1}^{n} ( 1 + \frac{i}{n} )^{\frac{1}{i}} \right ) = \lim_{n \to +\infty} \left [ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\frac{i}{n}} ln(1+\frac{i}{n}) \right ] = \int_{0}^{1} \frac{ln(1+x)}{x}dx = \int_{0}^{1} \left [ \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac{(-1)^k}{k+1}x^k \right ] dx = \sum_{k=0}^{+ \infty} \int_{0}^{1}\frac{(-1)^k}{k+1}x^k} dx }$
$\displaystyle{ = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2} = \frac{\pi^2}{12}}$

Άρα : $\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \prod_{i=1}^{n} (1+\frac{i}{n})^{\frac{1}{i}} = e^{\frac{\pi^2}{12}} }$ .

Ωmega Man · #3

Τρομερή λύση....είχα κολλήσει και το έβγαζα 1.
Για την τελευταία σειρά (αν και είναι γνωστή) ας δούμε γιατί κάνει τόσο,

$\displaystyle\setlength\fboxrule{3pt}\boxed{\bf\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k+1)^{2}}=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^2}=-\frac{1}{2}\sum_{k=-\infty,k\neq 0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{k^2}=\frac{1}{2}Res\left(\frac{\pi \csc(\pi z)}{z^2}\; ; z=0\right)=\frac{\pi^2}{12}}$

και το υπόλοιπο υπολογίζεται έτσι λόγω του αναπτύγματος Laurent ,

$\displaystyle{\bf \frac{\pi \csc(\pi z)}{z^2}=\frac{1}{z^3}+\frac{\pi^2}{6z}+\frac{7\pi^4 z}{360}+\ldots}$

.

mathxl · #4

Μια εξήγηση είναι από την συνάρτηση ήτα του Dirichlet και ζήτα του Rieman http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
$\displaystyle{\eta (s) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}}}{{{k^s}}}} = (1 - {2^{1 - s}})\zeta (s)}$

Συγκεκριμένα
$\displaystyle{\eta (2) = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}}}{{{k^2}}}} = (1 - {2^{1 - 2}})\zeta (2)\mathop = \limits^{\zeta (2) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}} \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}}$

Ωmega Man · #5

Βασίλη ναι αλλά καμιά φορά δεν μπορούμε να πάρουμε ότι η $\bf \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ a priori. Καλό θα είναι να ξέρουμε και πως υπολογίζεται, βέβαια η συνάρτηση $\zeta$ έχει συζητηθεί πολλές φορές στο forum.

Ένα όμορφο όριο (1)

Ένα όμορφο όριο (1)

Re: Ένα όμορφο όριο

Re: Ένα όμορφο όριο

Re: Ένα όμορφο όριο

Re: Ένα όμορφο όριο

Μέλη σε σύνδεση