Ένα όμορφο όριο (2)

#1

$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n^{2}}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}}$ .

MoV · #2

Με επιφύλαξη κάνω μια προσπάθεια να το υπολογίσω με αρθροίσματα Riemann .

$\displaystyle{ \lim_{\frac{n \to +\infty}{m \to +\infty}} \left [ \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] =\lim_{m \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{m} \lim_{n \to +\infty} \left [ \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] \right ] = \lim_{m \to +\infty} \sum_{l=1}^{m} \int_{l-1}^{l}\frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{m \to +\infty} \int_{0}^{m} \frac{1}{1+x^2}dx }$

$\displaystyle{ =\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] = \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2} \right ] = \frac{\pi}{2} }$ .

#3

MoV έγραψε:Με επιφύλαξη κάνω μια προσπάθεια να το υπολογίσω με αρθροίσματα Riemann .

$\displaystyle{ \lim_{\frac{n \to +\infty}{m \to +\infty}} \left [ \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] =\lim_{m \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{m} \lim_{n \to +\infty} \left [ \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] \right ] = \lim_{m \to +\infty} \sum_{l=1}^{m} \int_{l-1}^{l}\frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{m \to +\infty} \int_{0}^{m} \frac{1}{1+x^2}dx }$

$\displaystyle{ =\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] = \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2} \right ] = \frac{\pi}{2} }$ .

MoV (αλήθεια ποιο είναι το όνομά σου;), η λύση μου είναι σχεδόν ίδια με τη δική σου.

Το μόνο στο οποίο αλλάζει είναι στο ότι δεν έχω εισάγει νέα μεταβλητή, όπως τη m που έχεις εισάγει εσύ, δεδομένου ότι το όριο που αναζητούμε είναι μιας ακολουθίας

$\displaystyle{\bf{a(n)}}$ $\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2}}$ , συνάρτηση μόνο του

δηλαδή. Παρ' όλο που απλοποιεί την κατάσταση, δεν ξέρω αν νομιμοποιούμαστε να το κάνουμε αυτό.

Ο τρόπος που παίρνω όρια στη λύση μου είναι που την καθιστά κάπως ανορθόδοξη.

Συγκεκριμένα έχω γράψει τα εξής:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0\cdot n+1}^{n}\frac{n^2}{n^2+k^2}+\sum_{k=1\cdot n+1}^{2n}\frac{n^2}{n^2+k^2}+\cdots+\sum_{k=(n-1)n+1}^{n^2}\frac{n^2}{n^2+k^2}\right)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(0+k/n)^2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(1+k/n)^2}+\cdots+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(n-1+k/n)^2}\right)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}}$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+(n-1+x)^2}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\tan^{-1}(n)-tan^{-1}(n-1)=\pi/2}$ .

Το τελευταίο βήμα είναι κάπως διαισθητικό. Φαίνεται να χρησιμοποιείται κάποιο "θεώρημα" του τύπου:

Έστω ακολουθίες $(a_{j}^{i})$ $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ με $j\geq i$ .

Ορίζουμε $(s_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ με $s_{n}:=a_{n}^{1}+\cdots+a_{n}^{n}$ .

Αν $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ είναι $\displaystyle{\lim_{j\to+\infty}a_{j}^{i}=\ell^{i}\in\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}=\ell\in\mathbb{R}}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_{n}=\ell=\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}}$ .

Γνωρίζει κανείς αν ισχύει κάποιο τέτοιο θεώρημα; Αν όχι, μπορεί να αποφευγθεί αυτό με κάποια κατάλληλη δικαιολόγηση της προσέγγισης του MoV;

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Το τελευταίο βήμα είναι κάπως διαισθητικό. Φαίνεται να χρησιμοποιείται κάποιο "θεώρημα" του τύπου:

Έστω ακολουθίες $(a_{j}^{i})$ $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ με $j\geq i$ .

Ορίζουμε $(s_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ με $s_{n}:=a_{n}^{1}+\cdots+a_{n}^{n}$ .

Αν $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ είναι $\displaystyle{\lim_{j\to+\infty}a_{j}^{i}=\ell^{i}\in\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}=\ell\in\mathbb{R}}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_{n}=\ell=\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}}$ .

Γνωρίζει κανείς αν ισχύει κάποιο τέτοιο θεώρημα; Αν όχι, μπορεί να αποφευγθεί αυτό με κάποια κατάλληλη δικαιολόγηση της προσέγγισης του MoV;

Όχι δεν ισχύει. (Φαντάζομαι οι αριθμοί στον εκθέτη είναι «δείκτες» και όχι δυνάμεις.) Για παράδειγμα μπορώ να ορίσω $a_j^i = \ell^i$ αν j > i

και $a_j^j = -(\ell^1 + \cdots + \ell^{j-1})$ . Τότε όλα τα s_n

ισούνται με 0 άρα αν $\sum \ell^i \neq 0$ δεν ισχύει η ισότητα.

Νομίζω ότι αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι ακολουθίες είναι αύξουσες με τον πρώτο όρο μη αρνητικό τότε το θεώρημα ισχύει και μπορεί να αποδειχθεί με Tonelli (αν όλοι οι όροι μιας σειράς είναι μη αρνητικοί τότε κάθε αναδιάταξη της σειράς συγκλίνει στο ίδιο όριο). Η απόδειξη αφήνεται σαν άσκηση (με μια μικρή επιφύλαξη για την ορθότητα).

#5

Δείκτες είναι. χμ νομίζω εδώ πλοιρούνται οι προυποθέσεις. Οι ακολουθίες προσεγγίζουν από κάτω το γράφημα της arctan δεξιά από το 0. Άρα μάλλον είμαστε οκ

#6

μισό λεπτό όμως. Εδώ δεν έχουμε άθροιση πραγμάτων με τον ένα ή άλλο τρόπο..

MoV · #7

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
MoV έγραψε:Με επιφύλαξη κάνω μια προσπάθεια να το υπολογίσω με αρθροίσματα Riemann .

$\displaystyle{ \lim_{\frac{n \to +\infty}{m \to +\infty}} \left [ \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] =\lim_{m \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{m} \lim_{n \to +\infty} \left [ \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] \right ] = \lim_{m \to +\infty} \sum_{l=1}^{m} \int_{l-1}^{l}\frac{1}{1+x^2}dx = \lim_{m \to +\infty} \int_{0}^{m} \frac{1}{1+x^2}dx }$

$\displaystyle{ =\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{n} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] = \lim_{n \to +\infty} \left [ \sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2} \right ] = \frac{\pi}{2} }$ .
MoV (αλήθεια ποιο είναι το όνομά σου;), η λύση μου είναι σχεδόν ίδια με τη δική σου.

Το μόνο στο οποίο αλλάζει είναι στο ότι δεν έχω εισάγει νέα μεταβλητή, όπως τη m που έχεις εισάγει εσύ, δεδομένου ότι το όριο που αναζητούμε είναι μιας ακολουθίας

$\displaystyle{\bf{a(n)}}$ $\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2}}$ , συνάρτηση μόνο του δηλαδή. Παρ' όλο που απλοποιεί την κατάσταση, δεν ξέρω αν νομιμοποιούμαστε να το κάνουμε αυτό.

Ο τρόπος που παίρνω όρια στη λύση μου είναι που την καθιστά κάπως ανορθόδοξη.

Συγκεκριμένα έχω γράψει τα εξής:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=0\cdot n+1}^{n}\frac{n^2}{n^2+k^2}+\sum_{k=1\cdot n+1}^{2n}\frac{n^2}{n^2+k^2}+\cdots+\sum_{k=(n-1)n+1}^{n^2}\frac{n^2}{n^2+k^2}\right)=}$

$\displaystyle{\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(0+k/n)^2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(1+k/n)^2}+\cdots+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+(n-1+k/n)^2}\right)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}}$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+(n-1+x)^2}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\tan^{-1}(n)-tan^{-1}(n-1)=\pi/2}$ .

Το τελευταίο βήμα είναι κάπως διαισθητικό. Φαίνεται να χρησιμοποιείται κάποιο "θεώρημα" του τύπου:

Έστω ακολουθίες $(a_{j}^{i})$ $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ με $j\geq i$ .

Ορίζουμε $(s_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ με $s_{n}:=a_{n}^{1}+\cdots+a_{n}^{n}$ .

Αν $\forall\,\,i\in\mathbb{N}$ είναι $\displaystyle{\lim_{j\to+\infty}a_{j}^{i}=\ell^{i}\in\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}=\ell\in\mathbb{R}}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_{n}=\ell=\sum_{i=1}^{+\infty}\ell^{i}}$ .

Γνωρίζει κανείς αν ισχύει κάποιο τέτοιο θεώρημα; Αν όχι, μπορεί να αποφευγθεί αυτό με κάποια κατάλληλη δικαιολόγηση της προσέγγισης του MoV;

Ισχύει το εξής : $\displaystyle{ \lim_{(n,m) \to (+\infty,+\infty)} a_{n,m} = l \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_{n,n}=l }$ .

Για το άλλο τρωτό σημείο :
$\left [ \forall \epsilon>0, \exists N,M>0: \left ( N<n \Rightarrow |a_{n,m}-l_m|<\epsilon \right ) \land \left ( M<m \right ) \Rightarrow |l_m-l|<\epsilon \right ] \Rightarrow \left [ \forall \epsilon>0, \exists N,M>0: \left ( N<n ) \land \left ( M<m \right ) \Rightarrow \left ( |a_{n,m}-l_m|<\epsilon \land |l_m-l|<\epsilon \right ) \Rightarrow \left ( |a_{n,m}-l|\leq |a_{n,m}-l_m|+|l_m-l|<2\epsilon \right )\right ]$

άρα $\displaystyle{ \lim_{(n,m) \to (+\infty,+\infty)} a_{n,m} =\lim_{m \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} a_{n,m} = \lim_{m \to +\infty}l_m=l }$ .

#8

Μια διαφορετική προσέγγιση ..

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{n^2} \frac{n}{n^2+k^2}=\sum _{k=1}^{n^2} \left(\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\sin (n\cdot x)\cdot e^{-k\cdot x}\cdot dx\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\sin (n\cdot x)\sum _{k=1}^{n^2} \left(e^{-k\cdot x}\right)\cdot dx=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\sin (n\cdot x)\cdot e^{-x}\cdot \frac{1-e^{-n^2x}}{1-e^{-x}}\cdot dx=}\newline$
$\displaystyle{=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\sin (n\cdot x)\cdot \frac{1-e^{-n^2\cdot x}}{e^x-1}\cdot dx=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)}{e^x-1}dx-\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)\cdot e^{-n^2\cdot x}}{e^x-1}\cdot dx}$ (Το αρχικό ολοκλήρωμα «σπάει» διότι τα δύο ολοκληρώματα συγκλίνουν .. αποδεινύεται εύκολα)

Επίσης $\displaystyle{\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)}{e^x-1}dx=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{e^{n\cdot \pi }+e^{-n\cdot \pi }}{e^{n\cdot \pi }-e^{-n\cdot \pi }}-\frac{1}{2\cdot n}}$ αποδεικνύεται .. όχι εύκολα .. με μιγαδικό ολοκλήρωμα στην συνάρτηση $\displaystyle{f(z)=\frac{1}{2\cdot i}\cdot \frac{e^{i\cdot n\cdot z}-e^{-i\cdot n\cdot z}}{e^z-1}}$

Τότε $\displaystyle{\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n^2} \frac{n}{n^2+k^2}=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(\frac{\pi }{2}\cdot \frac{e^{n\cdot \pi }+e^{-n\cdot \pi }}{e^{n\cdot \pi }-e^{-n\cdot \pi }}-\frac{1}{2\cdot n}-\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)\cdot e^{-n^2\cdot x}}{e^x-1}\cdot dx\right)=\frac{\pi }{2}-\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)\cdot e^{-n^2\cdot x}}{e^x-1}\cdot dx\right)}$

Λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης έχουμε $\displaystyle{\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)\cdot e^{-n^2\cdot x}}{e^x-1}\cdot dx\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin (n\cdot x)}{e^x-1}\cdot \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\left(e^{-n^2\cdot x}\right)\cdot dx=0}$

Οπότε $\displaystyle{\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n^2} \frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\pi }{2}}$

#9

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Το τελευταίο βήμα είναι κάπως διαισθητικό. Φαίνεται να χρησιμοποιείται κάποιο "θεώρημα" ...

Το θεώρημα που χρησιμοποιείται στην προσέγγισή μου είναι το εξής (μόλις το εντόπισα)

Έστω $s_{n}:=a_{n,0}+a_{n,1}+a_{n,2}+\cdots+a_{n,k}+\cdots\qquad$ για $n=0,1,2,\ldots$ ,

,για κάθε $k\geq0$ ισχύει $|a_{n,k}|\leq A_{k}$ για κάθε $n\geq0$ με την $\displaystyle{\sum_{k=0}^{+\infty}A_{k}}$ να

συγκλίνει, και επιπλέον $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}a_{n,k}=a_{k}\in\mathbb{R}}$ για $k\geq0$ .

Τότε $\displaystyle{\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}:=s\in\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}s_{n}=s}$ .

Είναι το αντίστοιχο Dominated Convergence Theorem για σειρές.

Ένα όμορφο όριο (2)

Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Re: Ένα όμορφο όριο (2)

Μέλη σε σύνδεση