Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Για την συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{f:(\alpha , + \infty ) \to \Re }$ ισχύει ότι:
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha ^ + } f(x) = - \infty }$ και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty }$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f λαμβάνει μέγιστη τιμή.

#2

Αν η $\displaystyle{f}$ δεν ήταν ανω φραγμένη θα υπήρχε $\displaystyle{b\in R,b\ne a: \lim_{x\to b}f(x)=+\infty}$ άρα $\displaystyle{f(b)=+\infty}$ άτοπο
τότε έστω $\displaystyle{m=supf}$ στο ΠΟ της οπότε για κάθε $\displaystyle{\epsilon >0}$ θα υπάρχει $\displaystyle{x_0:m-\epsilon<f(x_0)\le m}$
εκλέγω $\displaystyle{\epsilon =\frac{f(x_1)-f(x_0)}{2}>0}$ αντικαθιστώ στην προηγούμενη και έχω
$\displaystyle{f(x_0)\le m <\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}=f(x_2)}$ από το θ.ενδιμέσων τιμών
άρα πάλι από το θ.ενδιμέσων τιμών $\displaystyle{m=f(\xi)}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο

Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Re: Μέγιστη τιμή συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση