Σημείο του Fermat

[pito]

Καλημέρα σε όλους.Θα μπορούσατε να μου πείτε που θα βρω απόδειξη της πρότασης: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο κάθε γωνία είναι μικρότερη των 120, κατασκευάσουμε εξωτερικά αυτού τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ',ΑΓΒ',ΒΓΑ', τότε τα τμήματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό έχει το ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τις κορυφές του τριγώνου. Ευχαριστώ!

[achilleas]

Δείτε και το σχετικό θέμα.

viewtopic.php?f=51&t=3471&p=18615#p18615

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλημέρα σε όλους.Θα μπορούσατε να μου πείτε που θα βρω απόδειξη της πρότασης: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο κάθε γωνία είναι μικρότερη των 120, κατασκευάσουμε εξωτερικά αυτού τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ',ΑΓΒ',ΒΓΑ', τότε τα τμήματα ΑΑ',ΒΒ',ΓΓ' είναι ίσα και διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό έχει το ελάχιστο άθροισμα αποστάσεων από τις κορυφές του τριγώνου. Ευχαριστώ!

Θα περιμένεις ίσως λιγο να γυρίσω από τις διακοπές για να σου στείλω τη λύση με τις συνέπειες. Πρόκειται για το θεώρημα των Steiner - Fermat - Toricelli και έχει πολύ ενδιαφέρον .
Στην εστία γνώσης που βρίσκεται στη Χαλκίδα και επισκέφτονται πολλά σχολεία, κάνουν ένα πείραμα, στο οποίο βυθίζουν ένα τρίγωνο μέσα σε σαπουνάδα. Η σαπουνάδα , βγάζοντας το μεταλλικό τρίγωνο σχηματίζει τρία τρίγωνα που η κοινή τους κορυφή είναι το σημείο Fermat - Toricelli .Είναι ένα εντυπωσιακό πείραμα που γοητεύει τα παιδιά και αν συνοδευτεί με τη θεωρητική απόδειξη από τον καθηγητή ότι το σημείο αυτό είναι το σημείο τομής αυτών των τριών τμημάτων, τότε μένει ανεξίτηλα χαραγμένο στο μυαλό τους.

Απόδειξη βέβαια του θεωρήματος αυτού υπάρχει και στο διαδύκτιο. Η αναζήτηση Fermat point in a triangle σίγουρα θα δώσει διευθύνσεις.
Μπάμπης

[pito]

Σας ευχαριστώ πολύ!