Άσκηση από Putnam

[Demetres]

Δίνονται τρία σημεία με ακέραιες συντεταγμένες πάνω σε κύκλο ακτίνας . Να δειχθεί ότι δύο εξ' αυτών έχουν απόσταση τουλάχιστον .

[Nick1990]

Το βρησκω πολυ χαλαρο, μαλον οπου "ακτινα" ηθελες να γραψεις "διαμετρος", διοτι τοτε βγαινουν ακριβως οι ποσοτητες.
Βαζω μια λυση στο πιο σφιχτο προβλημα με διαμετρο αντι για ακτινα.

Το εμβαδον του τριγωνου που οριζουν τα 3 σημεια ειναι , οπου ειναι οι πλευρες του και η διαμετρος του περιγεγραμμενου κυκλου (δηλαδη του κυκλου που εχει δωθει). Αν δεν ισχυει το ζητουμενο τοτε το εμβαδον ειναι αυστηρα μικροτερο απο . Αυτο ειναι ατοπο διοτι αν ειναι τα σημεια με ακεραιες συντεταγμενες πανω στις πλευρες του τριγωνου και μεσα στο τριγωνο αντιστοιχα, απο το θεωρημα του Pick το εμβαδον ειναι

[dxdy]

Το εμβαδον του τριγωνου που οριζουν τα 3 σημεια ειναι ,

Eχω την εντυπωση οτι το σωστο ειναι Ε=abc/4r

[chris]

Το εμβαδον του τριγωνου που οριζουν τα 3 σημεια ειναι ,

Eχω την εντυπωση οτι το σωστο ειναι Ε=abc/4r

Όχι σωστό είναι.Όπου είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου,όχι η ακτίνα.Αν ήταν η ακτίνα θα ήθελε .

Φιλικά

[dxdy]

Το εμβαδον του τριγωνου που οριζουν τα 3 σημεια ειναι ,

Eχω την εντυπωση οτι το σωστο ειναι Ε=abc/4r

Όχι σωστό είναι.Όπου είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου,όχι η ακτίνα.Αν ήταν η ακτίνα θα ήθελε .

Φιλικά

Ο εισηγητης μιλαει για κυκλο ακτινας r και ο αλλος μιλαει για τον ιδιο κυκλο με διαμετρο r.Tι να υποθεσει κανεις;

[dxdy]

Eστω α,β,γ οι αποστασεις μεταξυ των σημειων. Τοτε το εμβαδον του τριγωνου ειναι οπου r η ακτινα του δοθεντος κυκλου.
Απο το θεωρημα του Pick το εμβαδον ενος τριγωνου με κορυφες ακεραιων συντεταγμενων ειναι τουλαχιστον 1/2.

Συνεπως .

Αλλα .

[Nick1990]

.

Μιλαω για διαμετρο γιατι οπως εγραψα και στο πρωτο ποστ θεωρησα οτι επρεπε αντι για ακτινα να μιλαει για διαμετρο το προβλημα, μιας και τοτε το προβλημα γινεται λιγο πιο σφιχτο, αφου η διαμετρος ισουτε με δυο φορες την ακτινα και το βημα στο quote παραλειπεται.

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου έναν προβληματισμό μέσω της ερώτησης:
"Ενα σημείο μπορεί να θεωρηθεί 'εκφυλισμένο τρίγωνο' δηλαδή τρίγωνο με ταυτισμένες τις κορυφές του;''

S.E.Louridas

[Demetres]

Την άσκηση δεν την είχα λύσει. Είχα δει την εκφώνηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα. Η εκφώνηση λέει πράγματι «ακτίνα». Η προτεινόμενη λύση είναι ακριβώς αυτή του Νίκου και του dxdy. Σωστά λοιπόν ο Νίκος λέει ότι η εκφώνηση θα μπορούσε να λέει και «διάμετρος».

Δίκιο έχει και ο Σωτήρης. Το λάθος ήταν δικό μου στην μετάφραση. Η άσκηση σωστά έλεγε ότι τα σημεία είναι διακεκριμένα κάτι το οποίο παρέλειψα.

Είναι η άσκηση Α5 του 2000.

[Nick1990]

Επισης να τονισω οτι μπορουμε να μη χρησημοποιησουμε καν το θεωρημα του Pick.
Ενα διαφορετικο τελειωμα που μου ειπε απο κοντα ο Ηλιας ο Ζαδικ ειναι το εξης:
Το εμβαδον ειναι τουλαχιστον 1/2 διοτι ισουτε με 1/2 επι εναν θετικο ακεραιο (την οριζουσα των διανυσματων των 2 πλευρων, που ειναι ακεραια και θετικη αφου το τριγωνο ειναι μη εκφυλισμενο)