2008 ρίζες

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Άσκηση 6η

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη που ικανοποιεί την εξίσωση

$\displaystyle f{''}(x)=g(x)f{'}(x)+f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}$

για κάποια συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , να μηδενίζεται σε ακριβώς 2008 σημεία;

#2

Ας πούμε

δύο διαδοχικές ρίζες της

. Είναι προφανές ότι στο διάστημα (r_1,r_2)

η

διατηρεί το πρόσημό της. Υποθέτουμε ότι $f(x)>0, \forall x \in (r_1,r_2)$ . Η $f^{\prime}$ έχει στο

ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού, ας το πούμε x_0

. Αν βάλουμε στη δοθείσα όπου

το

, θα έχουμε $f^{\prime \prime} (x_0)=f(x_0)>0$ , άρα το x_0

είναι θέση τοπικού ελαχίστου της

, άρα θα είναι και το μοναδικό σημείο μηδενισμού της $f^{\prime}$ στο διάστημα (r_1,r_2)

. Άρα (Darboux) η $f^{\prime}$ θα διατηρεί το πρόσημο της, τόσο στο (r_1,x_0)

, όσο και στο (x_0,r_2)

, το οποίο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι $f(x) \leq 0, \forall x \in (r_1,r_2)$ , άτοπο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι $f(x)<0, \forall x \in (r_1,r_2)$ . Συνεπώς δεν μπορεί η συνάρτηση να έχει 2008 ρίζες.
Φιλικά
Υ.Γ Μάκη, νομίζω πως αυτό το πρόβλημα θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε και να πούμε πως μία συνάρτηση με τις δοθείσες ιδιότητες ή έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού ή μηδενίζεται σε ένα πυκνό υποσύνολο του $\mathbb{R}$

#3

Αν θυμάμαι καλά είναι θεωρία στα προβλήματα Sturm - Liouville

dxdy · #4

Eαν είχα λίγο χρόνο στην διάθεση μου και επρεπε να απαντησω με Σ-Λ σε αυτην θα την εγραφα ως εξής

g(x)=(f''(x)-f(x))/f'(x). Oμως εδώ στα σημεία μηδενισμού της πρώτης παραγώγου (f') αφου η f εχει 2008 ρίζες η g

απειρίζεται.Αρα κατι δεν παει καλά.

Nick1990 · #5

s.kap έγραψε: το είναι θέση τοπικού ελαχίστου της , άρα θα είναι και το μοναδικό σημείο μηδενισμού της $f^{\prime}$ στο διάστημα .

Μπορειτε να το εξηγησετε λιγο αυτο?
Ισως να μη βλεπω κατι προφανες αλλα δεν καταλαβαινω γιατι το οτι ειναι ελαχιστο σημαινει οτι η παραγωγος δεν μηδενιζεται ξανα...
Ενας αλλος (νομιζω διαφορετικος) τροπος ειναι να θεωρησουμε τη μεγιστη τιμη της f στο [ρ1, ρ2] η οποια εμφανιζεται στο εσωτερικο του συγκεκριμενου διαστηματος (οποτε εκει η πρωτη παραγωγος ειναι 0), και να δειξουμε οτι εκει η δευτερη παραγωγος ειναι μη θετικη, το οποιο ευκολα μεσω της σχεσης που δινεται οδηγει σε ατοπο.

#6

Nick1990 έγραψε:
s.kap έγραψε: το είναι θέση τοπικού ελαχίστου της , άρα θα είναι και το μοναδικό σημείο μηδενισμού της $f^{\prime}$ στο διάστημα .
Μπορειτε να το εξηγησετε λιγο αυτο?
Ισως να μη βλεπω κατι προφανες αλλα δεν καταλαβαινω γιατι το οτι ειναι ελαχιστο σημαινει οτι η παραγωγος δεν μηδενιζεται ξανα....

Νίκο, η εξήγησή μου είναι πως όπου μηδενίζεται η παράγωγος στο εσωτερικό του διαστήματος, η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Άρα αν έχει περισσότερα από ένα σημεία μηδενισμού θα έχει περισσότερα του ενός τοπικά ελάχιστα, χωρίς ανάμεσά τους να έχει τοπικό μέγιστο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί.
Φιλικά

Nick1990 · #7

Οκ καταλαβα, χρησημοποιειτε λοιπον κι εσεις το οτι η συναρτηση θα εχει μεγιστη τιμη.
Ευχαριστω.

Μάκης Χατζόπουλος · #8

s.kap έγραψε:Ας πούμε δύο διαδοχικές ρίζες της . Είναι προφανές ότι στο διάστημα η διατηρεί το πρόσημό της. Υποθέτουμε ότι $f(x)>0, \forall x \in (r_1,r_2)$ . Η $f^{\prime}$ έχει στο ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού, ας το πούμε . Αν βάλουμε στη δοθείσα όπου το , θα έχουμε $f^{\prime \prime} (x_0)=f(x_0)>0$ , άρα το είναι θέση τοπικού ελαχίστου της , άρα θα είναι και το μοναδικό σημείο μηδενισμού της $f^{\prime}$ στο διάστημα . Άρα (Darboux) η $f^{\prime}$ θα διατηρεί το πρόσημο της, τόσο στο , όσο και στο , το οποίο μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι $f(x) \leq 0, \forall x \in (r_1,r_2)$ , άτοπο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι $f(x)<0, \forall x \in (r_1,r_2)$ . Συνεπώς δεν μπορεί η συνάρτηση να έχει 2008 ρίζες.
Φιλικά
Υ.Γ Μάκη, νομίζω πως αυτό το πρόβλημα θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε και να πούμε πως μία συνάρτηση με τις δοθείσες ιδιότητες ή έχει το πολύ ένα σημείο μηδενισμού ή μηδενίζεται σε ένα πυκνό υποσύνολο του $\mathbb{R}$

Σπύρο πάρα πολύ ωραία, αυτή την απόδειξη έχω και εγώ! Όσο για την γενίκευση νομίζω ότι υπάρχει αλλά έβαλα την άσκηση έτσι όπως την βρήκα!

Υ.Γ: Σπύρο ελπίζω την επόμενη φορά που θα ανέβω Γιάννενα να συγχρονιστούμε καλύτερα και να τα πούμε και από κοντά!

2008 ρίζες

2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Re: 2008 ρίζες

Μέλη σε σύνδεση