Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

MoV · #1

Έστω $f:[0,L] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε :
$\displaystyle{ \int_{0}^{L} f(x)x^{2n}dx=a_n , n=0,1,2,... }$ και $\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{n^2a_n}=0 }$ .
Να βρεθεί η

συναρτήσει των a_n

.

#2

Μήπως η εκφώνηση λέει $\displaystyle{ \int_{0}^{L} f(x)x^{n}dx=a_n , n=0,1,2,... }$ αντί για $\displaystyle{ \int_{0}^{L} f(x)x^{2n}dx=a_n , n=0,1,2,... }$ ;
Αν ναι νομίζω υπάρχει κάποια γενική αντιμετώπιση.
Αν όχι μήπως μπορούμε να έχουμε την απάντηση;
Μαυρογιάννης.

MoV · #3

Έστω :
$g(x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L]$
$g(x)=f(-x) \quad \forall x \in [-L,0]$
$g(x)=g(x+2L) \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Αναπτύσωντας την

σε σειρά Fourier έχουμε : $\displaystyle{ g(x)=\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}c_n cos(\frac{n \pi x}{L}) \quad \forall x \in \mathbb{R} }$

με $\displaystyle{ c_n=\frac{1}{L} \int_{-L}^{L}g(x)cos(\frac{n \pi x}{L})dx=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}f(x)cos(\frac{n \pi x}{L})dx = \frac{2}{L} \int_{0}^{L}f(x)\sum_{k=0}^{+\infty} \left [ \frac{(-1)^k}{(2k)!}\left ( \frac{n \pi x}{L} \right )^{2k} \right ] dx = }$
$\displaystyle{ \frac{2}{L} \sum_{k=0}^{+\infty} \left [ \frac{(-1)^k}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi }{L} \right )^{2k} \int_{0}^{L}f(x)x^{2k}dx \right ] = \frac{2}{L} \sum_{k=0}^{+\infty} \left [ \frac{(-1)^k}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi }{L} \right )^{2k} a_k \right ] }$ .

Δηλαδή ξέρω το ολοκλήρωμα του γινομένου της

στο

με οποιαδήποτε αναλυτική και άρτια συνάρτηση άρα και με την $cos(\frac{n \pi x}{L})$ .
Το όριο το έδωσα έτσι ώστε να εξασφαλίσω ότι τα c_n

είναι πραγματικοί αριθμοί , αλλά μου φαίνεται ασθενής συνθήκη αφού χάνει την μηδενική ακολουθία .

Γιατί όμως δεν μου χρειάστηκαν τα ολοκληρώματα με τις περιττές δυνάμεις του

ενώ χρειάζονται στην γενική αντιμετώπιση που έχετε υπ'όψιν σας ?

#4

MoV έγραψε:...
με
$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(x)cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)cos(\frac{n\pi x}{L})dx=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\left( \frac{n\pi x}{L}\right) ^{2k}\right] dx=_{\left( \ast \right) }\frac{2}{L}\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\left( \frac{n\pi }{L}\right) ^{2k}\int_{0}^{L}f(x)x^{2k}dx\right] =\frac{2}{L}\sum_{k=0}^{+\infty }\left[ \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}\left( \frac{n\pi }{L}\right) ^{2k}a_{k}\right]$
...

H αντιμετώπιση μου φαίνεται ωραία και απλή. Με δυσκολεύει μόνο η ισότητα (*). Δεν χρειάζεται εκεί κάποιο επιχείρημα;

MoV έγραψε:Γιατί όμως δεν μου χρειάστηκαν τα ολοκληρώματα με τις περιττές δυνάμεις του ενώ χρειάζονται στην γενική αντιμετώπιση που έχετε υπ' όψιν σας ?

Η δική μου αντιμετώπιση έχει πιο πολύ φασαρία και την παράτησα γιατί δεν είχα πληροφορίες για τα ολοκληρώματα στις περιττές δυνάμεις. Μιας και την είχα γράψει εδώ και μέρες την παραθέτω τονίζοντας ότι δεν απαντάει στην άσκηση όπως τέθηκε μιας και προϋποθέτει την γνώση όλων των ολοκληρωμάτων $\int_{0}^{L}f\left( x\right) x^{n}dx$ :
Θεωρούμε τον χώρο $L_{2}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ που απαρτίζεται από όλες τις συναρτήσεις

για τις οποίες η $\left\vert f\right\vert ^{2}$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη. Με εσωτερικό γινόμενο το
$\left\langle f,h\right\rangle =\int_{0}^{L}f\left( x\right) g\left( x\right) dx$
ο $L_{2}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ είναι χώρος Hilbert και η νόρμα που προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο είναι η:
$\left\Vert f\right\Vert _{2}=\sqrt{\int_{0}^{L}\left\vert f\left( x\right) \right\vert ^{2}dx}$
Το σύνολο $C\left( \left[ 0,L\right] \right)$ των συνεχών συναρτήσεων του [0,L]

περιέχεται με στο $L_{2}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ αλλά δεν είναι το ίδιο χωρος Hilbert ως προς την $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ γιατί (υπάρχουν αντιπαραδείγματα) δεν είναι πλήρης. Ας συμβολίσουμε με $\overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ την πλήρωση του $C\left[ 0,L\right]$ ως προς την $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ όπου βέβαια το εσωτερικό γινόμενο $\left\langle .,.\right\rangle$ επεκτείνεται ανάλογα.
Θα είναι
$C\left( \left[ 0,L\right] \right) \subseteq \overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right) \subseteq L_{2}\left( \left[ 0,L\right] \right)$
και το $C\left( \left[ 0,L\right] \right)$ θα είναι $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ -πυκνό στο $\overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ .
Απο το θεώρημα του Weierstrass η γραμμική θήκη $L\left( B_{1}\right)$ του συνόλου
$B_{1}=\left\{ 1,x,x^{2},...,x^{n},...\right\}$
είναι πυκνή στον χώρο $C\left( \left[ 0,L\right] \right)$ των συνεχών συναρτήσεων ως προς την supremum νόρμα
$\left\Vert f\right\Vert =\sup \left\{ \left\vert f\left( x\right) \right\vert ,x\in \left[ 0,L\right] \right\}$
'Εστω $u\in \overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ . 'Εστω $\varepsilon >0$ . Υπάρχει $h\in C\left( \left[ 0,L\right] \right)$ ώστε

$\left\Vert u-h\right\Vert _{2}<\frac{\varepsilon }{2}$
Επίσης υπάρχει $s\in$ $L\left( B_{1}\right)$ ώστε
$\left\Vert h-s\right\Vert <\frac{\varepsilon }{2\sqrt{L}}$
Aλλά
$\left\Vert h-s\right\Vert _{2}^{2}=\int_{0}^{L}\left\vert h\left( x\right) -s\left( x\right) \right\vert ^{2}dx\leq L\left\Vert h-s\right\Vert ^{2}$
οπότε
$\left\Vert h-s\right\Vert _{2}\leq \sqrt{L}\left\Vert h-s\right\Vert$
'Αρα
$\left\Vert h-s\right\Vert _{2}<\frac{\varepsilon }{2}$
και επομένως
$\left\Vert u-s\right\Vert _{2}<\varepsilon$
'Aρα το $L\left( B_{1}\right)$ είναι $\left\Vert {}\right\Vert _{2}$ -πυκνό στο $\overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right)$ . Επίσης το $B_{1}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητο. Επομένως αν ορθογωνιοποιήσουμε το $B_{1}$
ως προ το εσωτερικό γινόμενο $\left\langle .\ ,.\ \right\rangle$ του $\overset{\thicksim }{C}\left( \left[ 0,L\right] \right)$
και με την διαδικασία Gramm-Smidt και μετά κανονικοποιήσουμε θα πάρουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα
$B_{2}=\left\{ g_{0},g_{1},...,g_{n}....\right\}$
όπου τα $g_{i}$ είναι πολυώνυμα που μπορούν να υπολογισθούν.
Τότε και η γραμμική θήκη $L\left( B_{2}\right)$ του $B_{2}$ θα είναι $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ -πυκνή στον χώρο των συνεχών ως προς την νόρμα $\left\Vert .\right\Vert _{2}$
Αυτό έχει ως συνέπεια την ισότητα
$f=\sum\limits_{n=0}\left\langle g_{n}.f\right\rangle g_{n}$
(η συγκλιση είναι ως προς την $\left\Vert .\right\Vert _{2}$ ) που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την

.
Μαυρογιάννης

MoV · #5

nsmavrogiannis έγραψε: Με δυσκολεύει μόνο η ισότητα (*). Δεν χρειάζεται εκεί κάποιο επιχείρημα;

Αν δεν κάνω λάθος η ομοιόμορφη σύγκλιση μας επιτρέπει να εναλλάξουμε την σειρά ολοκλήρωσης και άρθροισης .

Επειδή η $\displaystyle{ h_m(x)=\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi x}{L} \right )^{2k} }$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $h(x)=cos(\frac{n \pi x}{L})$ και η $f(x) \cdot h_m(x)$ θα συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f(x) \cdot h(x)$ .

$\displaystyle{ \forall \epsilon >0 \exists M \forall x \in [0,L] : M<m \Rightarrow |cos(\frac{n \pi x}{L})- \sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi x}{L} \right )^{2k}|<\epsilon \Rightarrow |f(x)cos(\frac{n \pi x}{L})- \sum_{k=0}^{m}f(x)\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi x}{L} \right )^{2k}|\leq \epsilon|f(x)|}$ .

#6

OK ευχαριστώ για την λύση.
Μου φαινόταν παράξενο να χρειάζονται οι "μισές" πληροφορίες αλλά έτσι είναι.
Αν μάλιστα κλέψω την ιδέα της άρτιας επέκτασης στο [-L,L]

νομίζω δουλεύει και η δική μου προσέγγιση η οποία βέβαια υπολείπεται κατά πολύ σε απλότητα.
'Εχουμε την άρτια (πλέον)

συνεχή στο [-L,L]

. Γράφουμε το C([-L,L])

ως ευθύ άθροισμα
$C\left( \left[ -L,L\right] \right) =E\left( \left[ -L,L\right] \right) \oplus O\left( \left[ -L,L\right] \right)$
(κατά τον γνωστό τρόπο: Κάθε συνάρτηση $\varphi$ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα μίας άρτιας $\frac{\varphi \left( x\right) +\varphi \left( -x\right) }{2}$ και μίας περιττής $\frac{\varphi \left( x\right) -\varphi \left( -x\right) }{2}$
δύο υποχώρων των αρτίων και των περιττών συναρτήσεων. Αφού στο C([-L,L])

η $L\left( B_{1}\right)$ είναι πυκνή ως προς την supremum νόρμα και η προβολή στον $E\left( \left[ -L,L\right] \right)$ είναι συνεχής η προβολή του $L\left( B_{1}\right)$ δηλαδή η γραμμική θήκη του $\left\{ 1,x^{2},x^{4},..\right\}$ είναι πυκνή στο $E\left( \left[ -L,L\right] \right)$ στο οποίο ανήκει η

. Δουλεύουμε τώρα όπως πριν, αλλά στο $E\left( \left[ -L,L\right] \right)$ .
Μαυρογιάννης

Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Re: Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Re: Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Re: Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Re: Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Re: Προσδιορισμός συνάρτησης από τα βάρη της

Μέλη σε σύνδεση