Θεωρία Πολυωνύμων

nickthegreek · #1

Δίνω ένα πρόβλημα από θεωρία πολυωνύμων...

Αν για το πολυώνυμο P(x)

με ακέραιους συντελεστές ισχύει ότι P(10)

και

είναι περιττοί αριθμοί,να δειχθεί ότι η εξίσωση P(x)=0

δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Φιλικά,
Νίκος

#2

Έστω

ακέραιος τέτοιος ώστε P(a)=0

.

Τότε ο ακέραιος -P(10)=P(a)-P(10)

διαιρείται από τον a-10

, κι ομοίως ο -P(1)=P(a)-P(1)

διαιρείται από τον a-1

.

Συνεπώς, ο περιττός ακέραιος P(10)P(1)

διαρείται από τον άρτιο ακέραιο (a-10)(a-1)

, άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

nickthegreek · #3

Πολύ ωραία λύση κύριε Αχιλλέα!

Προσωπικά έδωσα μια πιο σύνθετη λύση στο πρόβλημα,αποδεικνύοντας ότι για κάθε

που ανήκει στο Z o αριθμός P(k) είναι περιττός και κατά συνέπεια η εξίσωση P(a)=0

δεν μπορεί να έχει λύση αφού ο 0 είναι ζυγός.

Ας λύσουμε οπότε και αυτό το πρόβλημα:

Να αποδειχθεί για το ίδιο πολυώνυμο P(x) ότι για κάθε αριθμό

που ανήκει στο Z ισχύει ότι ο P(k)

είναι περιττός αριθμός

(Ελπίζω αυτό το πρόβλημα να είναι σωστό και να ισχυεί,αλλιώς ας ψάξουμε για αντιπαράδειγμα.Πάντως έχω μια πιστεύω σωστή απόδειξη)

Φιλικά,
Νίκος

#4

nickthegreek έγραψε: Ας λύσουμε οπότε και αυτό το πρόβλημα:

Να αποδειχθεί για το ίδιο πολυώνυμο P(x) ότι για κάθε αριθμό που ανήκει στο Z ισχύει ότι ο είναι περιττός αριθμός

Σωστό είναι και μπορεί να αποδειχθεί παρομοίως:

Έστω

άρτιος ακέραιος. Τότε ο P(k)-P(10)

θα είναι κι αυτός άρτιος αφού θα διαρείται με τον k-10

, κι άρα ο $P(k)=\left( P(k)-P(10)\right)+P(10)$ θα είναι περιττός.

Ομοίως, έστω

περιττός ακέραιος. Τότε ο P(k)-P(1)

θα είναι άρτιος αφού θα διαρείται με τον k-1

, κι άρα ο $P(k)=\left( P(k)-P(1)\right)+P(1)$ θα είναι περιττός.

Συνεπώς, ο P(k)

είναι περιττός για κάθε

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Πάρα πολύ ωραία!
Κάτι παρόμοιο είχαμε συζητήσει πριν αρκετό καιρό.
Ας το έχουμε και αυτό εδώ.

Νίκος

nickthegreek · #6

Πολύ ωραίες και γρήγορες λύσεις!Προσθέτω και την δική μου που διαφέρει λίγο,καθαρά για λόγους πλουραλισμού...

Έστω $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ .Ισχύει ότι $P(10)=a_n 10^n +a_{n-1} 10^{n-1}+...+a_1 10+a_0$ .Όμως η παράσταση $P(10)=a_n 10^n +a_{n-1} 10^{n-1}+...+10 a_1$ είναι άρτιος αριθμός και αφού P(10)

περιττός ισχύει ότι ο αριθμός a_0

είναι περιττός.

Επιπλέον έχουμε ότι $P(1)=a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0$ περιττός και αφού a_0

περιττός έχουμε ότι $a_n+a_{n-1}+...+a_1$ άρτιος.

Αυτό σημαίνει ότι ανάμεσα στους αριθμούς a_1,a_2,...,a_n

το πλήθος των όρων που είναι περιττοί αριθμοί είναι άρτιος αριθμός (π.χ. δεν μπορεί 3 ή 5 ή 7 από αυτούς τους όρους να είναι περιττοί και οι υπόλοιποι ζυγοί,διότι τότε το άθροισμα θα ήταν περιττός).

Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε ακέραιο αριθμό

ο αριθμός

είναι περιττός.Θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις...

1)Έστω ο

άρτιος.Τότε όλα τα γινόμενα a_1 b,a_2 b^2,...,a_n b^n

του πολυωνύμου είναι άρτιοι αριθμοί και κατά συνέπεια το άθροισμά τους είναι άρτιος αριθμός.Έτσι $a_n b^n +a_{n-1} b^{n-1}+...+a_1 b$ άρτιος.Όμως ο a_0

είναι περιττός και κατά συνέπεια όλο το P(b)

είναι περιττός αριθμός.

2)Έστω ο

είναι περιττός.Χρησιμοποιούμε το χρήσιμο γεγονός ότι από τους αριθμούς $a_n,a_{n-1},...a{1}$ το πλήθος αυτών που είναι περιττοί είναι άρτιο.Έστω από τους

αυτούς αριθμούς οι

είναι περιττοί.Τότε οι 2k όροι a_i b^i

,όπου το

είναι καθένας από τους

αυτούς όρους,είναι περιττοί.Όμως επειδή το πλήθος των αριθμών είναι άρτιο,και το άθροισμα των αριθμών αυτών θα είναι άρτιο.Οι υπόλοιποι n-2k

αριθμόι από τους a_1,a_2,...,a_n

είναι άρτιοι και άρα το άθροισμα των όρων τους είναι επίσης άρτιος αριθμός.
Συνολικά άρα το άθροισμα a_1 b+a_2 b^2+...+a_n b^n

είναι άρτιος αριθμός.Όμως a_0

περιττός,οπότε P(b)

περιττός.

Άρα P(b)

περιττός για κάθε ακέραιο

.Όμως 0=άρτιος,άρα η εξίσωση P(x)

δεν έχει ακέραιες λύσεις!!! ο.ε.δ. ole

Φιλικά,
Νίκος

Ilias_Zad · #7

Όμορφες λύσεις

Λίγο διαφορετικά:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θεωρία Πολυωνύμων

Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Re: Θεωρία Πολυωνύμων

Μέλη σε σύνδεση