νιοστη παραγωγος

teo · #1

Για την δευτερη παραγωγο μιας συναρτησης ισχυει φ"(α)= οριο της [φ(α+h)+φ(α-h)-2φ(α)] /h^2 οταν h->0 οποτεδηποτε οριζεται η φ"(α).Υπαρχει παρομοιος τυπος για την νιοστη παραγωγο ;

#2

teo έγραψε:Για την δευτερη παραγωγο μιας συναρτησης ισχυει φ"(α)= οριο της [φ(α+h)+φ(α-h)-2φ(α)] /h^2 οταν h->0 οποτεδηποτε οριζεται η φ"(α).Υπαρχει παρομοιος τυπος για την νιοστη παραγωγο ;

Ναι αλλά είναι πιο φασαρία. Ας δούμε τα κύρια βήματα για το πώς εργαζόμαστε π.χ. για την περίπτωση της τέταρτης παραγώγου (όμοια οι υπόλοιπες). Θα χρειαστούμε μερικές συνθήκες ομαλότητας:

Από τον τύπο του Taylor έχουμε

$f(a+h)= f(a) + hf ^{\prime}(a) + \frac{1}{2!}h^2 f ^{\prime \prime }(a) + \frac{1}{3!}h^3 f ^{\prime \prime \prime}(a) + \frac{1}{4!}h^4 f ^{\prime \prime \prime \prime}(a) + Ο(h^5)$

$f(a+2h)= f(a) + 2hf ^{\prime}(a) + \frac{4}{2!}h^2 f ^{\prime \prime }(a) + \frac{8}{3!}h^3 f ^{\prime \prime \prime}(a) + \frac{16}{4!}h^4 f ^{\prime \prime \prime \prime}(a) + Ο(h^5)$

με ανάλογους τύποuς για τα f(a-h), f(a-2h).

Πολλαπλάσιάζουμε τώρα την πρώτη επι Α, την δεύτερη επι Β, την τρίτη επί Γ και την τέταρτη επί Δ, και προσθέτουμε κατα μέλη. Τα Α, Β, Γ, Δ τα επιλέγουμε έτσι ώστε να μηδενιστούν οι συντελεστές των h, h^2, h^3

ενώ του $h^4\,$ να κάνει 1. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

edit: Διόρθωσα καθ’ υπόδειξιν του Δημήτρη, τον οποίο ευχαριστώ, το ο(h^5)

που έγραψα αρχικά σε Ο(h^5)

. Κατά τα άλλα η απόδειξη δεν χαλάει.

#3

Αν η

είναι

φορές συνεχώς διαφορίσιμη στο $\mathbb{R}$ , τότε για $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$ είναι

$\displaystyle{f^{(n)}(a)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h^{n}}\sum_{k=0}^{n}\Big((-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(a+kh)\Big)}$ .

Βλέπε Kaczor Nowak Problems in mathematical analysis v.II p.60.

teo · #4

Στο American Mathematical Monthly 94(4),1987, 354-356 υπαρχει απαντηση στο προβλημα.Μπορει καποιος να βρει αυτο το αρθρο ;

#5

Το έχω το άρθρο αλλά για κάποιο λόγο λείπει η σελίδα 356...Πάντως το βιβλίο που προτείνω έχει τη λύση στο πρόβλημα.

#6

Στο άρθρο αποδεικνύει το εξής:

Έστω $a_0,a_1,\ldots,a_n$ διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί και έστω $w_0,w_1,\ldots,w_n$ οι αριθμοί που προκύπτουν από την λύση του συστήματος

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_0^2 & a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_0^n & a_1^n & a_2^n & \cdots & a_n^n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_0 \\ w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ n!\end{pmatrix}}$

Έστω $f: \mathbB{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση

φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x_0

. Τότε $\displaystyle{ f^{(n)}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{k=0}^n w_k f(x_0 + a_kh)}{h^n}}$

Η απόδειξη που δίνει είναι εφαρμογή του κανόνα του l'Hopital n-1

φορές στο δεξί μέλος και μετά εφαρμογή του ορισμού της παραγώγου της συνάρτηση $f^{(n-1)}(x)$ στο x_0

.

νιοστη παραγωγος

νιοστη παραγωγος

Re: νιοστη παραγωγος

Re: νιοστη παραγωγος

Re: νιοστη παραγωγος

Re: νιοστη παραγωγος

Re: νιοστη παραγωγος

Μέλη σε σύνδεση