Ανισοτητα..

lemonidas · #1

Για

δείξτε ότι:

$| \sum a_kb_k | \leq \frac {1} {a} \sum a_k^2 + \frac {a} {4} \sum b_k^2$

Απλά μου άρεσε η λύση και τη βάζω σαν άσκηση.. (πολύ πιθανό βέβαια να έχει ξαναμπεί..)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #2

Mια λύση πιστεύω σωστή...

Στο πρώτο μέλος όλοι οι όροι είναι θετικοί οπότε εφαρμόζοντας την ΑΜ-ΓΜ και έπειτα από Caychy-Swartz:

$\displaystyle \frac{a}{4}\sum{b_{k}^{2}}+\frac{1}{a}\sum{a_{k}^{2}}=\frac{a}{4}\sum{\left|b_{k} \right|^{2}}+\frac{1}{a}\sum{\left|a_{k} \right|^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}\sum{\left|b_{k} \right|^{2}}\sum{{\left|a_{k} \right|^{2}}}}=\sqrt{\sum{\left|b_{k} \right|^{2}}\sum{{\left|a_{k} \right|^{2}}}}\geq \sqrt{\sum{\left|a_{k}b_{k} \right|}}^{2}=\sum{\left|a_{k}b_{k} \right|}\geq \left|\sum{a_{k}b_{k}} \right|$

Xρησιμοποιηθηκε και η $\displaystyle \left|x \right|+\left|y \right|\geq \left|x+y \right|$ για

όρους.

Φιλικά,
Κώστας

Nick1990 · #3

lemonidas έγραψε:Για δείξτε ότι:

$| \sum a_kb_k | \leq \frac {1} {a} \sum a_k^2 + \frac {a} {4} \sum b_k^2$

Απλά μου άρεσε η λύση και τη βάζω σαν άσκηση.. (πολύ πιθανό βέβαια να έχει ξαναμπεί..)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Από το Problems in mathematical analysis του Nowak

Ειναι ισοδύναμη προς την:

$\sum_{k=1}^{n}{(\frac{\sqrt{a}}{2}|b_k| - \frac{1}{\sqrt{a}}|a_k|)^2} + (\sum_{k=1}^{n}{|a_kb_k|} - |\sum_{k=1}^{n}{a_kb_k}|) \geq 0$
που ισχύει.

Ανισοτητα..

Ανισοτητα..

Re: Ανισοτητα..

Re: Ανισοτητα..

Μέλη σε σύνδεση