Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Nick1990 · #1

Δίνεται μετρικός χώρος (Χ, ρ) και δύο μη κενά, κλειστά και ξένα μεταξύ τους υποσύνολα Α,Β του Χ.
Δείξτε ότι υπάρχουν ανοιχτά και ξένα μεταξύ τους υποσύνολα Γ,Δ του Χ, ώστε το Α να περιέχεται στο Γ, και το Β να περιέχεται στο Δ.

Ίσως να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολο, αλλα έχω μια ενδιαφέρουσα λύση.

#2

Nick1990 έγραψε:Δίνεται μετρικός χώρος (Χ, ρ) και δύο μη κενά, κλειστά και ξένα μεταξύ τους υποσύνολα Α,Β του Χ.
Δείξτε ότι υπάρχουν ανοιχτά και ξένα μεταξύ τους υποσύνολα Γ,Δ του Χ, ώστε το Α να περιέχεται στο Γ, και το Β να περιέχεται στο Δ.

Ίσως να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολο, αλλα έχω μια ενδιαφέρουσα λύση.

Τα κύρια βήματα: από την κλειστότητα των (ξένων) Α και Β εύκολα αποδεικνύεται
ότι η απόσταση μεταξύ τους (δηλαδή το infimum των αποστάσεων όλων των ζευγών
σημείων από το ένα και το άλλο, αντίστοιχα) είναι γνήσια θετική, ας πούμε d > 0.

Δέτουμε Γ = { x στο Χ / d(x, A) < d/3} και Δ = { x στο Χ / d(x, Β) < d/3}.

Τα Γ, Δ είναι ξένα, περιέχουν τα Α, Β αντίστοιχα και ανοικτά (γιατί πήραμε "γνήσια μικρότερο" από d/3).
Λεπτομέρειες στον αναγνώστη...

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Μπορούμε να πάρουμε δύο ανοικτά που να περιέχουν τα Α,Β αντίστοιχα και να είναι κενή η τομή των κλειστών θηκών τους

#4

smar έγραψε:Μπορούμε να πάρουμε δύο ανοικτά που να περιέχουν τα Α,Β αντίστοιχα και να είναι κενή η τομή των κλειστών θηκών τους

Σιλουανέ, σωστά, αλλά η ύπαρξη αυτών των ανοικτών είναι το πρόβλημα.
Μ.

Nick1990 · #5

Επίσης, μπορούμε να απαιτήσουμε τα Α,Β να μην είναι υποχρεωτικά κλειστά, απλά να έχουν ξένες μεταξύ τους κλειστότητες. Ίσως αυτή η έκδωση του προβλήματος να είναι πιο δύσκολη.

#6

Εννοούσα ότι μπορούμε να γενικεύσουμε το προβλήμα με τη διατύπωση που είπα παραπάνω. Μια εναλλακτική προσέγγιση ειναι με το λήμμα Uryshon

#7

Αν ονομάσουμε d(x,A)

την απόσταση ενός σημείου

του χώρου από το σύνολο

τότε τα ζητούμενα σύνολα είναι Γ $=\{x/ d(x,A)-d(x,B)<0 \}$ και Δ $=\{x/ d(x,A)-d(x,B)>0 \}$
Φιλικά

PolarizationIdentity · #8

Αυτή η απόδειξη του κ. Λάμπρου με το d/3 αποδεικνύει ότι κάθε μετρικοποιήσιμος τοπολογικός χώρος είναι normal Hausdorff (Τ4 χώρος).

#9

PolarizationIdentity έγραψε:Αυτή η απόδειξη του κ. Λάμπρου με το d/3 αποδεικνύει ότι κάθε μετρικοποιήσιμος τοπολογικός χώρος είναι normal Hausdorff (Τ4 χώρος).

Χμμμ, η απόδειξή μου όμως έχει πρόβλημα. Για να είναι θετική η απόσταση, δεν αρκεί να είναι κλειστά τα σύνολα. Θέλουμε συμπάγεια. Π.χ. στο επίπεδο, Α = ο άξονας των χ και Β = το γράφημα της υπερβολής y = 1/x.
Φούντο η απόδειξη.
Eυτυχώς έχουμε την απόδειξη του Σπύρου, που σώζει την κατάσταση.

Συγνώμη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: αφού έγραψα τα παραπάνω, είδα ότι ο Σπύρος μου έστειλε e-mail επισημαίνοντας το λάθος μου. Το παράδειγμά του είναι το $A = \mathbb N, B = \{ n + \frac{1}{n} / n \in \mathbb N \}$
Τον ευχαριστώ.

#10

smar έγραψε:Μπορούμε να πάρουμε δύο ανοικτά που να περιέχουν τα Α,Β αντίστοιχα και να είναι κενή η τομή των κλειστών θηκών τους

Έμεινε αναπάντητο αυτό το ερώτημα. Λοιπόν από την απόδειξη του Σπύρου μπορούμε να πάρουμε ανοικτά και ξένα μεταξύ τους C,D

ώστε $A \subseteq C$ και $B \subseteq D$ . Έστω $\bar{C}$ η κλειστή θήκη του

. Τότε τα $\bar{C}$ και

είναι κλειστά και ξένα μεταξύ τους άρα υπάρχουν ανοικτά και ξένα μεταξύ τους E,F

ώστε $A \subseteq C \subseteq \bar{C} \subseteq E$ και $B \subseteq F$ . Τα C,F

είναι ανοικτά σύνολα που ικανοποιούν το ζητούμενο.

Παρατηρώ επίσης ότι το θεώρημα ισχύει ακόμη και αν κάποιο από τα A,B

είναι κενό.

PolarizationIdentity · #11

Για $a\in A$ και $b\in B$ έχουμε ${{\delta}_a}=d(a,B)>0$ και ${{\delta}_b}=d(b,A)>0$ γιατί τα

και

είναι ξένα μεταξύ τους. Θεωρούμε τα ανοικτά σύνολα
${\Gamma}={\cup}_{{a}\in A}B(a,{{\delta}_a}/3)$ και ${\Delta}={\cup}_{{b}\in B}B(b,{{\delta}_b}/3)$ . To $\Gamma$ περιέχει το

και το $\Delta$ περιέχει το

. Θα αποδείξουμε ότι $\Gamma$ και $\Delta$ είναι ξένα μεταξύ τους. Έστω

ανήκει στην τομή των $\Gamma$ και $\Delta$ . Υπάρχει ${a_0}\in A$ και ${b_0}\in B$ με $p\in B({a_0},{{\delta}_{a_0}}/3)$ και $p\in B({b_0},{{\delta}_{b_0}}/3).$ Τότε από την τριγωνική ανισότητα προκύπτει ότι
$\displaystyle{\varepsilon={\rho}({a_0},b_0)\leq {\dfrac {{\delta}_{{a_0}}+{\delta}_{{b_0}}}{3}}.}$
Όμως ${\delta}_{{a_0}}\leq {\rho}({a_0},b_0)={\varepsilon}$ και ομοίως έχουμε ${\delta}_{{b_0}}\leq {\varepsilon}.$ Άρα ${\varepsilon}<2{\varepsilon}/3$ , άτοπο. Συνεπώς τα $\Gamma$ και $\Delta$ έχουν κενή τομή.

Καραδήμας · #12

Αυτές οι δουλειές σε μετρικούς χώρους γίνονται εύκολα με τη συνάρτηση του Urysohn $f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ .

Nick1990 · #13

Καραδήμας έγραψε:Αυτές οι δουλειές σε μετρικούς χώρους γίνονται εύκολα με τη συνάρτηση του Urysohn $f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$ .

Ακριβώς, έβαλα αυτό το πρόβλημα για να τονίσω τη χρησημότητα της συγκεκριμένης συνάρτησης.
Το οτι μπορούμε να απαιτήσουμε τα ξένα Α,Β να μην είναι κλειστά, αλλά να έχουν απλά ξένες κλειστότητες, προκείπτει από το ότι τότε είναι κάλα ορισμένη η συγκεκριμένη συνάρτηση, οπότε μετά δείχνοντας οτι είναι συνεχής και δουλεύοντας με τις αντίστροφες εικόνες των [0, 1/2), (1/2, 1] μέσω αυτής, μπορούμε εύκολα να δείξουμε το ζητούμενο.

Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Re: Ωραιο προβλημα στα ανοιχτα συνολα

Μέλη σε σύνδεση