Παράγωγος μέρος ΙΙΙ

[7apostolis]

Καλησπέρα,
στα προηγούμενα δύο θέματα του Νίκου πιστεύω έγινε σαφές
ότι μια συνάρτηση που έχει αντιπαράγωγο (δηλ. μια συνάρτηση που είναι παράγωγος
κάποιας συνάρτησης) δεν μπορεί να έχει ασυνέχειες πρώτου είδους. Άρα αν έχει ασυνέχειες
θα είναι ουσιώδεις.
Όπως έχουμε ξανασυζητήσει η παράγωγος είναι Darboux συνεχής συνάρτηση.
Μερικές καλές ασκήσεις για ξεκαθάρισμα των σχέσεων ανάμεσα στα σύνολα των Darboux συνεχών συναρτήσεων, των συναρτήσεων που έχουν αντιπαράγωγο, των συνεχών συναρτήσεων και των
Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι οι παρακάτω:
-να βρεθεί ασυνεχής R-ολοκληρώσιμη συνάρτηση με παράγουσα(ή αρχική ή αντιπαράγωγο)

-να βρεθεί R-ολοκληρώσιμη Darboux συνεχής συνάρτηση που δεν έχει παράγουσα

-να βρεθεί συνάρτηση με παράγουσα αλλά όχι R-ολοκληρώσιμη

-να βρεθεί Darboux συνεχής συνάρτηση που δεν είναι R-ολοκληρώσιμη και δεν έχει παράγουσα.

Αποστόλης Παπαδογιαννάκης

[dement]

-να βρεθεί ασυνεχής R-ολοκληρώσιμη συνάρτηση με παράγουσα(ή αρχική ή αντιπαράγωγο)

Η συναρτηση με για και ειναι ως γνωστον η παραγωγος της και ειναι ασυνεχης στο .

Επισης, αφου η μονη ασυνεχεια ειναι το και η ειναι φραγμενη σε μια περιοχη του, ειναι και Riemann ολοκληρωσιμη.

Δημητρης Σκουτερης

[dement]

-να βρεθεί R-ολοκληρώσιμη Darboux συνεχής συνάρτηση που δεν έχει παράγουσα

Εστω η προηγουμενη συναρτηση, για και .

H συναρτηση για και για νομιζω μας κανει. Ειναι Riemann ολοκληρωσιμη και Darboux συνεχης. Επισης, αφου η εχει παραγουσα, η δε μπορει να εχει γιατι τοτε θα ειχε παραγουσα και η , η οποια εχει ασυνεχεια πρωτου ειδους στο .

Δημητρης Σκουτερης

[7apostolis]

Καλησπέρα,
δίνω ένα κείμενο που επιδιώκει εξηγήσει
τις σχέσεις εγκλεισμού μεταξύ μονότονων,συνεχών,
παραγωγίσιμων κλπ συναρτήσεων με πεδίο ορισμού Δ=[α,β].
Προέρχεται από τις σημειώσεις μαθήματος του
μεταπτυχιακού του μαθ. τμήμ. Ηρακλείου.
Ελπίζω να βοηθήσει!
Α.Π.