1o ΘΕΜΕΛΙΏΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο.Λ.

[mathxl]

Από την ανάλυση του Tom Apostol
Παρατήρησα ότι δίνει απλά ολοκληρώσιμη την f και όχι συνεχή (τη βγάζει συνεχή στο ανοικτό διάστημα εκτός εάν χάνω κάτι στην μετάφραση)

[mathxl]

Μετάφραση ή προσπάθεια μετάφρασης η παρακάτω

Έστω φ μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [α,χ] για κάθε χ στο [α,β]. Ας είναι σ τέτοιο ώστε α=<σ=<β και ας ορίσουμε μία νέα συνάρτηση όπως ακολούθως:
Α(χ)=ολοκλήρωμα από σ ως χ (φ του τε ντε τε) με α=<χ=<β.
Τότε η παράγωγος Α΄(χ) υπάρχει σε κάθε σημείο στο ανοικτό διάστημα (α,β) όπου η φ είναι συνεχής, και για κάθε τέτοιο χ έχουμε Α΄(χ) = φ(χ)

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Πράγματι η συνέχεια είναι ισχυρή υπόθεση. Βλέπε και Michael Spivak διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός Πανεπιστημιακές εκδόσεις κρήτης σελ. 238. Εδώ το αποδεικνύει γιά το κλειστό [α,β].

[mathxl]

Ακολουθεί ο ορισμός της αρχικής σε ανοικτό διάστημα και όχι σε οποιοδήποτε διάστημα

[mathxl]

μετάφραση
ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Μία συνάρτηση Ρ καλείται αρχική ( ή αντιπαράγωγος) μιας συνάρτησης f στο ανοικτό διάστημα Ι εάν η παράγωγος της Ρ είναι η f , αυτό συμβαίνει, εάν Ρ΄(χ)=f(x) για όλα τα χ στο Ι

[mathxl]

Αναστάση που ορίζει ο Spivak την αρχική ή καλύτερα πως δίνει τον ορισμό της;

[chris_gatos]

Απόσπασμα απο τη σελίδα 140 του ''απειροστικού λογισμού ΙΙ'' του Σ.Ντουγια.
..Ας υποθέσουμε ότι η f : I=[α,β] -> R είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση.Για κάθε χ με α<=χ<=β ,ο περιορισμός της f στο
διάστημα [α,χ] είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση σύμφωνα με το Θ.2.42.Συνεπώς , μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση
F :
I ->R με . Η F λέγεται ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ f (ωχ.πάλι τρελλός θα βγώ!)

Υπ'όψιν πως αρχική της λέει κάθε συνάρτηση G: I->R για την οποία ισχύει G'(x)=f(x),για κάθε χ στο Ι.
Τότε, το αόριστο ολοκλήρωμα λέει πως είναι , Σε αυτήν την περίπτωση το αόριστο ολοκλήρωμα F είναι και αρχική της f στο I και ισχύει :

Ο τύπος έχει νόημα μόνο αν η f έχει αρχική στο Ι και είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann.Όμως το αόριστο ολοκλήρωμα της f MΠΟΡΕΙ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ στο Ι ,και η f να μήν έχει αρχική στο Ι.
Για παράδειγμα η συνάρτηση του παραδείγματος 1.5 ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΑΡΧΙΚΗ ,αλλά είναι ολοκληρώσιμη κατα riemann σε κάθε κλειστό υποδιάστημα του R και το αόριστο ολοκλήρωμα ,υπάρχει για κάθε χ στο R.
Mόλις διαχωρίσαμε το αόριστο ολοκλήρωμα απο την αρχική.
Για να μην ξαναπαραθέσω το Θεώρημα απο το βιβλίο του Θ.Ρασσιά!

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Αναστάση που ορίζει ο Spivak την αρχική ή καλύτερα πως δίνει τον ορισμό της;

σελ 300

[mathxl]

το "που" , αναφέρονταν στο ανοικτό ή κλειστό όχι στην σελίδα (δική μου ασαφής ερώτηση). Δυστυχώς δεν έχω το βιβλίο του.
Θεωρώ τουλάχιστον περίεργο(να μην το πω αλλιώς) ...να μιλάμε (οι μαθηματικοί) για την ίδια έννοια ή θεώρημα και πολλοί από εμάς να τα έχουμε διδαχτεί διαφορετικά...

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Έστω f ολοκληρώσιμη στο [α,β], και η F ορισμένη στο [α,β] από την . Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο c στο [α,β], τότε η F είναι παραγωγίσιμη στο c, και .
(αν c=α ή β, τότε, λέγοντας εννοούμε τη δεξιά ή αριστερή παράγωγο της F.)

[mathxl]

Το ραπιντσέαρ τελικά είναι αρκετά καλό λολ. Ακόμη ένας calculus μιλάει για παραγωγισιμότητα στο ανοικτό