Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα (1)

#1

Έστω

. Να βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n(a+bk)}{\displaystyle\prod_{k=0}^n(a+bk)^{\frac{1}{(n+1)}}}}$ .

#2

$\displaystyle{\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {a + b \cdot k} \right)} = \frac{{n + 1}}{n} \cdot a + \frac{b}{n} \cdot \frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot a}}{n} + \frac{{\left( {n + 1} \right) \cdot b}}{2}}$

$\displaystyle{\prod\limits_{k = 0}^n {{{\left( {a + b \cdot k} \right)}^{1/\left( {n + 1} \right)}}} = {\left( {a \cdot \left( {a + b} \right) \cdot \left( {a + 2b} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {a + n \cdot b} \right)} \right)^{1/\left( {n + 1} \right)}} = }$ $\displaystyle{{\left( {a \cdot {b^n} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)} \right)^{1/\left( {n + 1} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = b \cdot {\left( {\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)} \right)^{1/\left( {n + 1} \right)}} = }$ $\displaystyle{b \cdot {n^{\dfrac{a}{{b \cdot \left( {n + 1} \right)}}}} \cdot {\left( {n!} \right)^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)}}{{{n^{a/b}} \cdot n!}}} \right)^{\frac{1}{{n + 1}}}} = }$

$\displaystyle{ = b \cdot {n^{\dfrac{a}{{b \cdot \left( {n + 1} \right)}}}} \cdot {\left( {\frac{{n!}}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot n} }} \cdot \frac{{{e^n}}}{{{n^n}}}} \right)^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)}}{{{n^{a/b}} \cdot n!}}} \right)^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} \cdot {\left( {\sqrt {2 \cdot \pi \cdot n} } \right)^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} \cdot {n^{n/\left( {n + 1} \right)}} \cdot {e^{ - n/\left( {n + 1} \right)}}}$

Όμως $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)}}{{{n^{a/b}} \cdot n!}} = \frac{1}{{\Gamma \left( {\dfrac{a}{b}} \right)}} > 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{a}{b} + 1} \right) \cdot \left( {\frac{a}{b} + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \left( {\frac{a}{b} + n} \right)}}{{{n^{a/b}} \cdot n!}}} \right)^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} = 1}$ ,
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {b \cdot {n^{\dfrac{a}{{b \cdot \left( {n + 1} \right)}}}} \cdot {{\left( {\frac{{n!}}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot n} }} \cdot \frac{{{e^n}}}{{{n^n}}}} \right)}^{\dfrac{1}{{n + 1}}}}} \right) = b}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{e^{ - \dfrac{n}{{n + 1}}}}} \right) = \frac{1}{e}}$

Οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {a + b \cdot k} \right)} }}{{\prod\limits_{k = 0}^n {{{\left( {a + b \cdot k} \right)}^{\dfrac{1}{{n + 1}}}}} }} = \frac{e}{b} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right) \cdot a}}{n} + \dfrac{{\left( {n + 1} \right) \cdot b}}{2}}}{{{n^{\dfrac{n}{{n + 1}}}}}}} \right) = \frac{e}{b} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot {n^{ - \dfrac{n}{{n + 1}}}} \cdot \left( {a \cdot \frac{{n + 1}}{{{n^2}}} + \frac{b}{2} \cdot \frac{{n + 1}}{n}} \right)} \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{e}{b} \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{n^{\dfrac{1}{{n + 1}}}} \cdot \left( {a \cdot \frac{{n + 1}}{{{n^2}}} + \frac{b}{2} \cdot \frac{{n + 1}}{n}} \right)} \right) = \frac{e}{b} \cdot 1 \cdot \left( {0 + \frac{b}{2}} \right) = \frac{{{e}}}{{2 }}}$ .

Χρησιμοποιήθηκε πάλι ο τύπος Euler - Weierstrass – Gauss $\displaystyle{\Gamma \left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{n^z} \cdot n!}}{{z \cdot \left( {z + 1} \right) \cdot \left( {z + 2} \right) \cdot {\text{ }}..{\text{ }} \cdot \cdot \left( {z + n} \right)}}} \right)}$ , καθώς και η προσέγγιση του Stirling : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n!}}{{\sqrt {2 \cdot \pi \cdot n} }} \cdot {\left( {\frac{e}{n}} \right)^n} = 1}$

Edit: Έγινε μια μικρή διόρθωση, δεν είχα αντιστρέψει το κλάσμα b/e στο τέλος, ευχαριστώ τον Αναστάση.

#3

Και μια άλλη λύση:

Είναι

$\displaystyle{\frac{\displaystyle(1/n)\sum_{k=0}^{n}(a+bk)}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(a+bk)^{1/(n+1)}}=\frac{\displaystyle(1/n)\sum_{k=0}^{n}(1/n+bk/n)}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(1/n+bk/n)^{1(n+1)}}=\frac{\displaystyle(a+b)/n+(1/n)\sum_{k=0}^{n-1}bk/n}{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(1/n+bk/n)^{1(n+1)}}:=\frac{A_{n}}{B_{n}}}$

$\displaystyle{A_{n}\to0+\int_{0}^{1}bx\,dx=b/2}$ .

$\displaystyle{\ln B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}\ln\Big(\frac{a+bk}{n}\Big)=\underbrace{\frac{1}{n+1}\ln\Big(\frac{a+bn}{n}\Big)}_{C_{n}}+\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+1}\ln\Big(\frac{a+bk}{n}\Big)}_{D_{n}}}$ . Όμως

$\displaystyle{\frac{1}{n+1}\ln\Big(\frac{a+bk}{n}\Big)=\frac{\ln b}{n+1}+\frac{1}{n+1}\ln\Big(\frac{a/b+k}{n}\Big)}$ άρα $\displaystyle{D_{n}=\frac{n\ln b}{n+1}+\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\ln\Big(\frac{a/b+k}{n}\Big)}$ .

Από εδώ τώρα, έχουμε ότι

$\displaystyle{D_{n}\to ln b-1}$ , και επειδή είναι και $\displaystyle{C_{n}\to0}$ έπεται ότι $\displaystyle{\ln B_{n}\to\ln b-1=\ln(b/e)}$ και συνεπώς

$\displaystyle{B_{n}\to b/e}$ , άρα το ζητούμενο όριο είναι e/2

.

Ilias_Zad · #4

Δίνω ένα link με μια διαφορετική και σχετικά στοιχειώδη προσέγγιση που είχα κάνει πέρυσι στο πρόβλημα όταν το είχα δει (προτελευταίο ποστ: http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php? ... 6&start=30)
Ζητώ συγνώμη αλλά δεν έχω τον χρόνο αυτήν την στιγμή να την αντιγράψω.

Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα (1)

Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα (1)

Re: Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα

Re: Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα

Re: Ένα όριο με γινόμενο και άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση