ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

aggelospap · #1

ΟΠΟΙΟΣ ΣΥΝΑΔΕΛΦΟΣ ΕΧΕΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΑ ΗΜΟΥΝ ΕΥΓΝΩΜΩΝ ΑΝ ΤΑ ΑΝΕΒΑΖΕ

maiksouk · #2

τα θεματα της ΟΕΦΕ για τους συναδελφους !

#3

Αγαπητέ maik ευχαριστούμε!

Στο θέμα Β΄λείπουν οι συχνότητες στο αρχείο pdf. Μήπως μπορείς να τις στείλεις με απλό μήνυμα;

Γιώργος Ρίζος

Τα παλιά θέματα (έως 2008) τα έχει αναρτημένα η ΟΕΦΕ στο δικτυακό της χώρο www.oefe.gr, οπότε δε νομίζω να τίθεται θέμα σχετικά με την ανάρτηση των θεμάτων.

johnbausis · #4

Οι συχνότητες είναι 2,4,6,8.Και στο Δ θέμα στον αριθμητή είναι Ρ(Β-Α) και όχι Ρ(Α-Β).

#5

Στο θέμα Δ.α , πως συμπεραίνουμε ότι τα Α , Β είναι ασυμβίβαστα ;

giannisn1990 · #6

είναι $\displaystyle f^{\prime}(1)=1\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)\Leftrightarrow P(A\cap B)=0\Leftrightarrow N(A\cap B)=0\Rightarrow A\cap B=\varnothing$

#7

ΕΚΦΩΝΗΣΗ:
Δίνονται τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και η συνάρτηση $f\left( x \right) = \frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{2(P\left( A \right) + P\left( B \right))}} \cdot x^2 + \frac{{P\left( {B - A} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}}$ , με χ∈R για την οποία είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στο σημείο Κ(1,f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία y=χ+2.
α. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.

Η f(x) είναι παραγωγίσιμη με f '(x) = $\frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}}x$

Αφού η εφαπτομένη της στο Α είναι παράλληλη στη y = x+ 2, θα είναι f '(1) = 1, οπότε $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Από προσθετικό νόμο Πιθανοτήτων, προκύπτει ότι $P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;P\left( {A \cap B} \right) = 0$
Άρα Α, Β ασυμβίβαστα.

Γιώργος Ρίζος

Με πρόλαβε ο Γιάννης. (Το Λακωνίζειν εστίν φιλοσοφείν...)
edit 6:23 Απομάκρυνα το x∈R από τη συνάρτηση. Εγώ φταίω που το έγραψα "κολλητά". Χρήστο περαστικά!

#8

Πιστευω οτι στο δ ερωτημα του τεταρτου ζητηματος δεν μπορουν να χρησιμοποιηθουν οι
P(A) και P(B) του γ ερωτηματος .

Σωτηρης Στογιας

#9

Καλησπέρα! Νομίζω, πως η ένσταση του συναδέλφου exdx έχει να κάνει με τις εκφωνήσεις που υπάρχουν στο
συνημμένο. Αν προσέξετε στη συγκεκριμένη, έχει δοθεί ως συντελεστής του $\displaystyle{\displaystyle x^2 }$ το $\displaystyle{\displaystyle \frac{{P\left( {A \cup B} \right)}} {{2\left[ {P\left( A \right) + P\left( B \right)} \right]}} }$ , με το οποίο,όσο και να χτυπιέσαι, αποκλείεται να βγάλεις πως είναι ασυμβίβαστα.
Y.Γ Άκυρο...Μια χαρά είναι απλά τώρα κατάλαβα πως αντί να καταλάβω πως $\displaystyle{\displaystyle x \in \mathbb{R} }$ (το έχει ακριβώς δίπλα στον τύπο),έβαζα ως μεταβλητή το χ και υπολόγιζα αλλοπρόσαλλη παράγωγο... Αυτά παθαίνεις όταν σου πονάνε τα κόκαλλα
απο την καταραμένη ην ίωση!

#10

Χρήστο γιατί;
αυτός είναι στην f
και $f^{\prime}(1)=1$
---

τώρα είδα το Υ.Γ του Χρήστου

Ιστοσελίδα · #11

Μια απορία: αν Ρ(Α)=0 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το Α είναι το κενό σύνολο!!!!

mathxl · #12

Nαι εάν τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα ειδάλλως όχι

Ιστοσελίδα · #13

και που το αναφέρει αυτό το σχολικό βιβλίο; μηπως θα πρέπει να δούμε την πιθανότητα ως συνάρτηση μέτρου και να ξεφυλλίσουμε λιγάκι την θεωρία του μέτρου που μάθαμε στο πανεπιστήμιο;

#14

Αν τα στοιχειώδη ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα Ναί
Αλλιώς έστω $\Omega = \{a,b,c,d\} P(a)=1/2,P(b)=1/3,P(c)=1/6,P(d)=0$
έχουμε αν $D= \{d\}\ne \oslash ,P(d)=0$

mathxl · #15

Έστειλα ένα μήνυμα και χάθηκε...ήταν στο ίδιο στυλ με του Ροδόλφου
Τώρα για μία απόδειξη αυστηρή με θεωρία μέτρου όπως αναφέρεις....δεν θυμάμαι πολλά (εώς τίποτα θα έλεγα)
Παρόμοια δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι
Αν Ρ(Α)=1 τότε Α=Ω
Αν Ρ(ΑτομήΒ)=0 τότε Α, Β ασυμβίβαστα
Αν Ρ(Α ένωσηΒ)=1 τότε ΑένωσηΒ=Ω
Αν Ρ(Α)=Ρ(Β) τότε Α=Β

Ιστοσελίδα · #16

Επειδή το θέμα το είχαμε ξανασυζητήσει και στο παλιό mathematica είχαμε πει ότι η πιθανότητα είναι συνάρτηση μέτρου και ώς συνάρτηση μέτρου δεν ισχύει αυτή η συνεπαγωγή, επομένως δεν ισχύει ούτε για απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα ούτε για μη ισοπίθανα ενδεχόμενα, αλλόστε το σχολικό βιβλίο απεφυγε αυτή την κακοτοπιά αναφέροντας μόνο την συνεπαγωγή Α = κενό συνεπάγεται Ρ(Α) = 0 και όχι την αντίστροφη συνεπαγωγή.

Ας ακούσουμε και τις απόψεις του Νίκου του Μαυρογίαννη και του κ. Λάμπρου στο θέμα αυτό.

#17

Γειά σας
Θα αναφερθώ μόνο στο συγκεκριμένο θέμα της συνεπαγωγής
$P\left( A\right) =0\Rightarrow A=\varnothing$
Η συνεπαγωγή αυτή γενικά είναι ψευδής όπως είχε επισημάνει ο Σπύρος Καρδαμίτσης σε ένα εμπεριστατωμένο σημείωμα του στο Mathematica του Pathfinder.
'Ομως στην ειδική περίπτωση όπου
α) Ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος
β) Τα απλά ενδεχόμενα $\omega _{1},\omega _{2},....,\omega _{\nu }$ είναι ισοπίθανα (οπότε όλα έχουν πιθανότητα $\frac{1}{\nu }$ ) η συνεπαγωγή, όπως προανέφεραν ο Ροδόλφος και ο Βασίλης, είναι αληθής μιάς και κάθε μη κενό ενδεχόμενο

έχει πιθανότητα
$\frac{1}{\nu }\times$ πληθάριθμος Α
Μαυρογιάννης

#18

Το πρόβλημά μου ήταν ακριβώς αυτό . Αν ,δηλαδή , σύμφωνα πάντα με το σχολικό βιβλίο , μπορεί ο μαθητής από μια σχέση πιθανοτήτων να συμπεράνει μια σχέση συνόλων . Κι αν ναι , που αναφέρεται αυτό ;

Α.Κυριακόπουλος · #19

spyrosk έγραψε:και που το αναφέρει αυτό το σχολικό βιβλίο; μηπως θα πρέπει να δούμε την πιθανότητα ως συνάρτηση μέτρου και να ξεφυλλίσουμε λιγάκι την θεωρία του μέτρου που μάθαμε στο πανεπιστήμιο;

Σπύρο, με συγχωρείς αλλά τα πράγματα είναι πολύ απλά. Με βάση αυτά που γράφει το σχολικό βιβλίο( όπως έχουν πει και οι άλλοι συνάδελφοι), μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα ότι:
1) Αν P(A)=0 και τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, τότε Α= κενό( απόδειξη συλλογιστική).
2) Αν P(A)=0 και τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα, τότε δεν έπεται αναγκαίως ότι Α= κενό ( απόδειξη με αντιπαράδειγμα).
Σημειώνω ότι το σχολικό βιβλίο αναφέρεται μόνο σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους.
Σπύρο, θα μου επιτρέψεις να σου πω τα εξής:
α) Δεν είναι θεώρημα για να το αναφέρει το σχολικό βιβλίο ή τουλάχιστον δεν το έχει σαν θεώρημα.
β) Η άσκηση στο σημείο αυτό δεν ήταν ατυχής.
γ) Το να επικαλεστούμε τη θεωρία μέτρου για το θέμα αυτό είναι σαν να βάλουμε κανόνι για να σκοτώσουμε ψύλλο( χιούμορ).

ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 2009

Μέλη σε σύνδεση