Α δέσμη 98

#1

Παραθέτω δυο θέματα απο τις πανελλήνιες του 98 τα οποία κατά τη γνώμη μου παρουσιάζουν κάποιο προβληματάκι
1)Δίνεται μιγαδικός $z_{0}$ με $Im z_{0}<999$ και το σύνολο Α των μιγαδικών αριθμών z με $z\neq z_{0},\overline{z}_{0}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\frac{1}{|z-z_{0}|}+\frac{1}{|z-\overline{z}_{0}|}=\frac{1998}{|z-z_{0}||z-\overline{z}_{0}|}$ . Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δυο μιγαδικών αριθμών του συνόλου A.

(Ερώτηση: Μήπως είναι $|Im z_{0}|<999$ ; γιατί, αν όχι, τότε μπορεί A= κενό..)

2)Δίνεται ο v επί ν πίνακας Α με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για τον οποίο ισχύει $A^{2}-2(\lambda-2)^{2}A+I=0$ . Να δείξετε ότι ο πίνακας Α+Ι είναι αντιστρέψιμος γιά κάθε λ...

#2

Πιστεύω ότι το 1998 ήταν η χρονιά με τις ΔΥΣΚΟΛΟΤΕΡΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ των 25 τελευταίων ετών Παραθέτω το τέταρτο ζήτημα(αν θυμάμαι καλά το ΘΜΤολ ήταν εκτός ύλης)

Έστω $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ παραγωγίσιμη ώστε $\displaystyle f^{\prime}(x)+2xf(x)=0.f(1)=1$
α)Να δείξετε ότι $f^{\prime}$ είναι συνεχής και να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x)

.
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{x-1}{2x^2}f(x)<\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{2t^2}dt}<\frac{x-1}{2} , \forall x>1$
γ) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x}{(1+\frac{1}{2t^2})f(t)dt} , x>1$
δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle 2e\int_{1}^{x}{e^{-t^2}dt}<1 , \forall x>1$

#3

Για το

του Αναστάση: Νομίζω ότι δεν έχει πρόβλημα. Αν θέσουμε A+I=B

δηλαδή

, αρκεί πλέον να δείξουμε ότι ο

είναι αντιστρέψιμος. Η δοσμένη, μετά την αντικατάσταση γίνεται:

$(B-I)^2-2(\lambda-2)^2(B-I)+I=0 \Longleftrightarrow$
$B^2-2B-2(\lambda-2)^2B=-\left(2+2(\lambda-2)^2\right)I$

και επειδή $2+2(\lambda-2)^2 \neq 0, \ \ \forall \lambda\in\mathbb{R}$ , παίρνουμε

$B\cdot\left[-\displaystyle\frac{1}{2+2(\lambda-2)^2}\left(B-2I-2(\lambda-2)^2I\right)\right]=I$ , το οποίο σημαίνει ότι ο πίνακας

είναι αντιστρέψιμος με

$B^{-1}=-\displaystyle\frac{1}{2+2(\lambda-2)^2}\left(B-2I-2(\lambda-2)^2I\right)$

Αλέξανδρος

#4

Αναστάση νομίζω ότι για την πρώτη άσκηση επειδή η δοσμένη γίνεται $|z-z_0|+|z-\bar{z_0}|=1998$ , άρα λόγω της τριγωνικής ανισότητας έχουμε

$|z_0-\bar{z_0}|=|z_0-z+z-\bar{z_0}|\leq |z-z_0|+|z-\bar{z_0}|=1998$ άρα παίρνουμε σίγουρα ότι $|Imz_0|\leq 999$ . Θα μου πείς τώρα ότι αφενός δίνεται ότι Imz_0<999.

Πώς όμως γίνεται να εξασφαλίσουμε ότι $Imz_0\neq -999$ για να μπορούμε άνετα να μιλάμε για εξίσωση έλλειψης; Θα το κοιτάξω καλύτερα!

Αλέξανδρος

#5

R BORIS έγραψε: Έστω $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ παραγωγίσιμη ώστε $\displaystyle f^{\prime}(x)+2xf(x)=0.f(1)=1$
α)Να δείξετε ότι $f^{\prime}$ είναι συνεχής και να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{x-1}{2x^2}f(x)<\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{2t^2}dt}<\frac{x-1}{2} , \forall x>1$
γ) Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x}{(1+\frac{1}{2t^2})f(t)dt} , x>1$
δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle 2e\int_{1}^{x}{e^{-t^2}dt}<1 , \forall x>1$

α) $f^{\prime}(x)=-2xf(x)<0$ ,η $f^{\prime}$ συνεχής ως γινόμενο συνεχών,η

γν.φθίν στο $(0,+\infty)$
$f^{\prime}(x)+2xf(x)=0$ πολλαπλασιάζω με $e^{x^2}$ και $f(x)=e^{1-x^2}$

β)για την συνεχή στο [1,χ] $h(x)=\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{f(t)}{2t^2}d t,x>0$ κάνω ΘΜΤ[1,x]άρα υπάρχει $c\in (1,x)$ , $h^{\prime}(c)=\displaystyle \frac{{\int_{1}^{x} }\frac{f(t)}{2t^2}d t}{x-1}$
επομένως αρκεί ν.α.ο.

$\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}<\frac{f(c)}{c^2}<1,x>1$ το οποιο ειναι αφου
f(x)<f(c)<f(1)

και

γ)σπάμε το ολoκλήρωμα , με παραγοντική ολοκλήρωση και πράξεις !!!
$F(x)=\displaystyle \frac{1}{2}- \displaystyle \frac{e^{1-x^2}}{2x}}$

δ)από το β)
$\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{2t^2} d t > \displaystyle \frac{x-1}{2x^2} f(x)$ ,

$\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{f(t)}{2t^2} d t > \displaystyle \frac{x-1}{2x^2} f(x) \Leftrightarrow$ με παραγοντική ολοκλήρωση ... $\Leftrightarrow$

$-2e\displaystyle \int_{1}^{x}e^{-t^2} dt>\displaystyle \frac{x-1}{x^2}f(x)+\displaystyle \frac{f(x)}{x}-1$

$\Leftrightarrow 2e\displaystyle \int_{1}^{x}e^{-t^2} d t<1-\Big( \displaystyle \frac{x-1}{x^2}f(x)+\displaystyle \frac{f(x)}{x} )<1$ , αφου $\Big( \displaystyle \frac{x-1}{x^2}f(x)+\displaystyle \frac{f(x)}{x} )>0$

#6

cretanman έγραψε: $|z_0-\bar{z_0}|=|z_0-z+z-\bar{z_0}|\leq |z-z_0|+|z-\bar{z_0}|=1998$ άρα παίρνουμε σίγουρα ότι $|Imz_0|\leq 999$

Αλέξανδρε το παραπάνω ισχύει με την προυπόθεση ότι το Α ΔΕΝ είναι κενό, δηλαδή ότι υπάρχει κάποιο z τέθοιο ώστε $|z-z_0|+|z-\bar{z_0}|=1998$ .
Όμως : Αν $Im z_{0}<-999(<999)$ , τότε, αν $z\in A$ , θα είναι : $\\1998=|z-\overline{z}_{0}|+|z-z_{0}|\geq|z-\overline{z}_{0}-z+z_{0}|=|z_{0}-\overline{z}_{0}|=2|Im z_{0}|=-2Im z_{0}>1998$ !!!

#7

Χμ... σαν να 'χεις δίκιο Αναστάση! Νομίζω ότι το συγκεκριμένο σημείο είναι πράγματι προβληματικό και φυσικά η δική μου προσέγγιση λανθασμένη καθώς υπάρχει λογικό σφάλμα! Τί κάνουμε τώρα? Να βγάλουμε έστω και ετεροχρονισμένα καμιά ανακοίνωση για το λάθος θέμα (

) και να πάρουμε τα πτυχία από ΟΛΟΥΣ που πέρασαν εκείνη τη χρονιά? Ή να ζητήσουμε αναβαθμολόγηση και δικαστήριο για να αθωωθούν οι μαθητές που δεν πέρασαν και έφταιγε το εν λόγω θέμα?

Αλέξανδρος

#8

Καλησπέρα...Εγω το πρωί ψάχνοντας στο διαδίκτυο για την...αυθεντική μορφή των θεμάτων (την κλασσική εννοώ)
δεν τη βρήκα...Όλες που μπόρεσα να βρώ ήταν δακτυλογραφημένες. Που σημαίνει, πως σε μια να ξέφυγε το απόλυτο(στην πρώτη), τότε θα ξεφύγει σε όλες. Αν όντως είναι διασταυρωμένο, πάω πάσσο.

k-ser · #9

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Παραθέτω δυο θέματα απο τις πανελλήνιες του 98 τα οποία κατά τη γνώμη μου παρουσιάζουν κάποιο προβληματάκι
1)Δίνεται μιγαδικός $z_{0}$ με $Im z_{0}<999$ και το σύνολο Α των μιγαδικών αριθμών z με $z\neq z_{0},\overline{z}_{0}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\frac{1}{|z-z_{0}|}+\frac{1}{|z-\overline{z}_{0}|}=\frac{1998}{|z-z_{0}||z-\overline{z}_{0}|}$ . Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση που μπορούν να απέχουν μεταξύ τους οι εικόνες δυο μιγαδικών αριθμών του συνόλου A.

(Ερώτηση: Μήπως είναι $|Im z_{0}|<999$ ; γιατί, αν όχι, τότε μπορεί A= κενό..)

2)Δίνεται ο v επί ν πίνακας Α με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς για τον οποίο ισχύει $A^{2}-2(\lambda-2)^{2}A+I=0$ . Να δείξετε ότι ο πίνακας Α+Ι είναι αντιστρέψιμος γιά κάθε λ...

Καλό θέμα ήταν. Δεν θυμάμαι για το απόλυτο το οποίο είναι απαραίτητο και μάλιστα αν ο... ποιητής ήθελε τις εικόνες των z να "φτιάχνουν" έλλειψη" έπρεπε να προσέξει να δώσει τον περιορισμό:
$0<|z_0-\overline{z}_{0}|<1998$
ή
$0<|Im z_{0}|<999$
Ενδεχομένως, να είχε έρθει κάποια διευκρίνηση - οι διευκρινήσεις δεν φαίνονται στην μετέπειτα αναπαραγωγή των θεμάτων.

Όσο για τις τιμές του λ... μ' αρέσει που διευκρινίζεται ότι ο πίνακας έχει στοιχεία πραγματικούς αριθμούς!

Βέβαια, για να είναι όμορφο ένα έργο τέχνης, πρέπει να αφήνει στον αναγνώστη του την δυνατότητα
να δίνει ερμηνείες που συνάδουν με τα βιώματά του και τη φαντασία του.

Να περνάτε καλά.

sifis80 · #10

Εκείνη τη χρονιά ήμουν υποψήφιος

.Δίνω μια λύση σε WORD. 'Ηταν ζόρικα τα θέματα !!!

#11

Βρήκα σε φωτοτυπία τα θέματα
Όντως δεν υπήρχε απόλυτο στο Imz_0

Τώρα που τα ξαναβλέπω ζητούσε τι γίνεται και στην περίπτωση $z_0=\bar{z}_0$ ?
επίσης ξαναθυμήθηκα τον τεράστιο όγκο των θεμάτων εκείνης της χρονιάς. Κάποια στιγμη αν θέλετε θα τα ανεβάσω

Α δέσμη 98

Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Re: Α δέσμη 98

Μέλη σε σύνδεση