Όριο

Ιστοσελίδα · #1

ένα ενδιαφέρον όριο για την παρέα

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\eta \mu ^2 x}} - \frac{1}{{x^2 }}} \right) }$

#2

Γράφουμε $\displaystyle{1/\sin^2x-1/x^2=\frac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\frac{(1/x^2)(1-\sin^2 x/x^2)}{\sin^2x/x^2}}$ και κάνουμε 5 φορές De l hospital στον αριθμητή ο οποίος είναι 0/0

. Τελικό αποτέλεσμα 1/3

αν δεν έκανα λάθος.

Ιστοσελίδα · #3

Χαράς το κουράγιο σου Δημήτρη εγώ μετά το δεύτερο hospital τα παράτησα και δοκίμασα με φράξιμο να υπολογίσω το όριο. Πάντως το αποτέλεσμα είναι σωστό. Σε ευχαριστώ για την προσπάθειά σου

#4

(Αναστάσης

) Σπύρο έκανα μια φορά Del hospital και απλά παρατήρησα ότι στον παρονομαστή έβγαινε $\displaystyle{x^4}$ και εξακολουθούσε να είναι 0/0

μετά το έβαλα στο wolfram που όπως έδειξες δίνει 1/3

, άρα θα ήθελε άλλες 4 φορές De l hospital (Δεν έχω και τόση υπομονή

) Να είσαι καλά!

A.Spyridakis · #5

Όχι Αναστάση, δεν έκανες λάθος.
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\eta \mu ^2 x}} - \frac{1}{{x^2 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2-\eta \mu ^2 x}{x^2 \eta \mu ^2 x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x + \eta \mu x}{\eta \mu x} \frac{x - \eta \mu x}{x^2 \eta \mu x}\right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{ 1 + \frac{\eta \mu x}{x}}{\frac{\eta \mu x}{x}} \frac{x - \eta \mu x}{x^2 \eta \mu x}\right) }$
Το πρώτο όριο είναι προφανώς 2 και το δεύτερο με 3 νοσοκομεία βγαίνει $\frac{1}{6}$

#6

A.Spyridakis έγραψε:...
Το πρώτο όριο είναι προφανώς 2 και το δεύτερο με 3 νοσοκομεία βγαίνει $\frac{1}{6}$

Πολύ καλύτερα έτσι

#7

Είναι ευκολότερο να βρούμε το όριο

$\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\left(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2})=\frac{x^2-\sin^2 x}{x^4}$

καθώς $x\to 0$ .

$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{x^2-\sin^2 x}{x^4}=\lim_{x \to 0} \frac{2x-\sin (2x)}{4x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos (2x)}{6x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x)}{6(2x)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#8

G.Tsikaloudakis · #9

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\eta \mu ^2 x}} - \frac{1}{{x^2 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x^2 - \eta \mu ^2 x}}{{x^2 \eta \mu ^2 x}}} \right) = \frac{{2}}{6} \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x^{} - \eta \mu x}}{{x^2 \eta \mu ^{} x}} \cdot \frac{{x^{} + \eta \mu x}}{{^{} \eta \mu ^{} x}}} \right) = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^{} + \eta \mu x}}{{^{} \eta \mu ^{} x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1^{} + \sigma \upsilon \nu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} = 2 \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x^{} - \eta \mu x}}{{x^2 \eta \mu ^{} x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1^{} - \sigma \upsilon \nu x}}{{2x\eta \mu ^{} x + x^2 ^{} \sigma \upsilon \nu x}} = \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\eta \mu x}}{{2\eta \mu ^{} x + 4x\sigma \upsilon \nu x - x^2 \eta \mu ^{} x}} = \\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sigma \upsilon \nu x}}{{2\sigma \upsilon \nu x^{} + 4\sigma \upsilon \nu x - 4x\eta \mu x - 2x\eta \mu ^{} x - x^2 ^{} \sigma \upsilon \nu x}} = \frac{1}{6} \\ \end{array} }$

Γ.Τσικαλουδακης

#10

Καλησπέρα σε όλη την παρέα του

Νομίζω είναι παρόμοιο με αυτό που λέει ο Αχιλλέας παραπάνω.

$\frac{x^2-\eta \mu^2 x}{x^2\eta \mu ^2x}=\frac{x-\eta \mu x}{x^3}\cdot \frac{x+\eta \mu x}{x}\cdot \frac{x^2}{\eta \mu ^2x}$
Tα δύο τελευταία κλάσματα έχουν όριο 2. Το πρώτο κλάσμα με ένα ¨νοσοκομείο¨ οδηγεί στο όριο του κλάσματος $\frac{1-\sigma \upsilon \nu x}{3x^2}$ που ισούται με $\frac{\eta \mu ^2x}{3x^2(1+\sigma \upsilon \nu x)}$ και έχει όριο 1/6.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση