Υπολογισμός παραμέτρου από ταυτότητα

[mathxl]

Για ποια τιμή της παραμέτρου
η εξίσωση
είναι ταυτότητα;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Από το βιβλίο" μεθοδολογία άλγεβρας α λυκείου" του Λευτέρη Πρ. και της Μ. Ευσταθίου

[stavros11]

[mathxl]

Σταύρε ωραία!
Δυσκολεύομαι να καταλάβω πως στην τελευταία σου συνεπαγωγή βρήκες ότι α = - 1 . Πως το σκέφτηκες;
Απορία: Γιατί το α δεν μπορεί να είναι 0 ή 2010;

[stavros11]

Σταύρε ωραία!
Δυσκολεύομαι να καταλάβω πως στην τελευταία σου συνεπαγωγή βρήκες ότι α = - 1 . Πως το σκέφτηκες;
Απορία: Γιατί το α δεν μπορεί να είναι 0 ή 2010;

Θέλουμε η εξίσωση να είναι ταυτότητα, δηλαδή να ισχύει για κάθε . Άρα θα πρέπει να μπορεί να πάρει την μορφή (ή ). Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό γίνεται αν .

Αν , τότε η εξίσωση έχει μία λύση, η οποία είναι η .

[mathxl]

Οκ κατάλαβα. Πως σου φαίνεται το παρακάτω ως συλλογισμός:
Αφού είναι ταυτότητα, η εξίσωση θα επαληθεύεται από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, μχχμχ...ας πούμε το 1, οπότε με αντικατάσταση θα έχω
9= 3 ( 2- α) άρα α = -1
Είναι πλήρης η λύση μου;

[stavros11]

Οκ κατάλαβα. Πως σου φαίνεται το παρακάτω ως συλλογισμός:
Αφού είναι ταυτότητα, η εξίσωση θα επαληθεύεται από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, μχχμχ...ας πούμε το 1, οπότε με αντικατάσταση θα έχω
9= 3 ( 2- α) άρα α = -1
Είναι πλήρης η λύση μου;

Όχι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι επαληθεύεται από όλους τους πραγματικούς και όχι από κάποιον τυχαίο.

Βέβαια:
. Άρα όποιον πραγματικό διάφορο του 0 και να παίρναμε θα μας βγάλει, που είναι σωστό.

Όμως με αυτό το σκεπτικό θα μπορούσαμε να πάρουμε και που βγάζει , δηλαδή ότι είναι ταυτότητα για κάθε α...

[mathxl]

Σώνεται ο τρόπος αυτός; Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η τιμή αυτή ( α = -1) καθιστά την εξίσωση ταυτότητα;

Με τον δικό σου τρόπο (που παρέθεσες αρχικά και συμπλήρωσες αργότερα), υποθέσαμε ότι :ισχύει η υπόθεση και αρνηθήκαμε το συμπέρασμα (ότι α =-1), άρα θα υπάρχει και άλλη τιμή του α, διαφορετική του -1 ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα και εύκολα καταλήξαμε σε κάτι που αντιφάσκει με τις υποθέσεις μας (χ = 0 μοναδική λύση, πράγμα άτοπο). Έτσι δείξαμε ότι το α = -1 είναι η μοναδική τιμή της παραμέτρου ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.