ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

Cristoforos S. · #1

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο διχοτόμους ίσες, να δείξετε ότι είναι ισοσκελές.

Edit: μετέτρεψα τα κεφαλαία σε πεζά, για να είναι το κείμενο σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica
Γενικός Συντονιστής

#2

Πρόκειται για το θεώρημα Steiner- Lehmus. Έχει ξανασυζητηθεί εδώ.

#3

Εφαρμόζουμε την απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι
$\hat{B}> \hat{\Gamma }$ (1)
Τότε θα είναι: $\hat{\phi }>\hat{\omega }$ (2)
και επειδή τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΓΔ έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη άνιση τότε θα είναι:
$\Gamma \Delta >BE$ (3)
Φέρουμε την ΕΖ ίση και παράλληλη με την ΒΔ. Τότε το τρίγωνο ΓΕΖ ισοσκελές και συνεπώς:
$\hat{\phi }+\hat{\sigma }=\hat{\omega }+\hat{\theta }$ (4)
όμως από το παραλληλόγραμμο ΒΔΖΕ είναι ΒΕ=ΖΔ και συνεπώς η (3) γίνεται:
$\Gamma \Delta >\Delta Z$ (5)
Άρα
$\hat{\sigma }>\hat{\theta }$ (6)
Από τις (2) και (6) με πρόσθεση προκύπτει:
$\hat{\phi }+\hat{\sigma }>\hat{\omega }+\hat{\theta }$
που είναι άτοπο λόγω της (4). Άρα η υπόθεση μας ψευδής.
Με τον ίδιο τρόπο απορρίπτουμε και την
$\hat{B}< \hat{\Gamma }$
Άρα
$\hat{B}=\hat{\Gamma }$
Σημείωση: Έντεκα άλλους τρόπους μπορεί κανείς να διαβάσει στο βιβλίο: "Το ισοσκελές τρίγωνο και αι ιδιότητες αυτού" του Ι.Φ. Πανάκη. Εκδοτικός Οίκος Ι. Σιδέρη.

#4

Ναί, δεν είχα υπόψη μου πως έχει γραφεί το θέμα και μάλιστα και το βιβλίο του Ι.Φ.Πανάκη παλαιότερα από τον κ. Α. Κυριακόπουλο.
Ας είναι...

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ

Μέλη σε σύνδεση