Σύστημα

erxmer · #1

Να βρεθούν όλες οι λύσεις του παρακάτω συστήματος

$(x+2y)^{x-y}=25$

$2log_{5}(x+2y)+x-y=4$

Mulder · #2

$(x+2y)^{x-y}=25\Leftrightarrow (x-y)log_{5}(x+2y)=2,(1)$

$x-y=4-2log_{5}(x+2y),(2)$

$(1)\Leftrightarrow (4-2log_{5}(x+2y))log_{5}(x+2y)=2 \Leftrightarrow 4log_{5}(x+2y)-2log_{5}^2(x+2y)=2 \Leftrightarrow log_{5}^2(x+2y)-2log_{5}(x+2y)+1=0 \Leftrightarrow (log_{5}(x+2y)-1)^2=0 \Leftrightarrow log_{5}(x+2y)=log_{5}5 \Leftrightarrow x+2y=5$

$(2) \Leftrightarrow x-y=4-2\Leftrightarrow x=2+y$

Άρα $2+y+2y=5\Leftrightarrow y=1$ και x=3

#3

Θέτουμε
$(x+2y)^{x-y}=25 (I)$
$2log_{5}(x+2y)+x-y=4 (II)$

Για x+2y>0 έχουμε ότι:

$\displaystyle{(I) \Leftrightarrow log_{5}(x+2y)^{x-y}=log_{5}25 \Leftrightarrow (x-y)log_{5}(x+2y)=2 \Leftrightarrow}$ ,
$\displaystyle{\Leftrightarrow log_{5}(x+2y)=\frac{2}{x-y} (III)}$ αφού $x \neq y$ .

Τότε η (ΙΙ) λόγω της (ΙΙI) ισοδύναμα γίνεται:

$\displaystyle{(II) \Leftrightarrow 2\frac{2}{x-y}+x-y=4 \Leftrightarrow 4 +(x-y)^2=4(x-y) \Leftrightarrow}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow (x-y)^2-4(x-y)+4=0 \Leftrightarrow (x-y-2)^2=0 \Leftrightarrow x- y = 2 (IV)}$

Τότε η (ΙII) λόγω της (ΙV) ισοδύναμα γίνεται:

$\displaystyle{log_{5}(x+2y)=1 \Leftrightarrow x+2y=5(V)}$

Το σύστημα των (IV) και (V) εύκολα δίνει ότι (x,y)=(3,1)

.

edit: Λευτέρη y=1 όχι -1

. Ευχαριστώ τον Γιώργο (Rigio).

#4

Μία ακόμα λύση (με περισσότερες αντικαταστάσεις).

Παραφράζοντας το moto του Λευτέρη: ¨Κάθε πρόβλημα στο mathematica έχει τουλάχιστον τρεις λύσεις..."

Θέτω $\displaystyle x + 2y = \alpha ,\;\alpha > 0$ και $\displaystyle x - y = \beta$

Το σύστημα γράφεται: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \alpha ^\beta = 25 \\ 2\log _5 \alpha = 4 - \beta \\ \end{array} \right.\;\;\;,\;\alpha > 0$

Η πρώτη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle \beta \cdot \log _5 \alpha = 2$

Θέτω $\displaystyle \log _5 \alpha = t$

Το σύστημα γράφεται: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \beta \cdot t = 2 \\ 2t = 4 - \beta \\ \end{array} \right.$ , από όπου προκύπτει: β = 2 και t = 1 άρα α = 5

Οπότε: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x - y = 2 \\ x + 2y = 5 \\ \end{array} \right.$
από όπου προκύπτει: x = 3, y = 1

Γιώργος Ρίζος

#5

Rigio έγραψε:
Παραφράζοντας το moto του Λευτέρη: ¨Κάθε πρόβλημα στο mathematica έχει τουλάχιστον τρεις λύσεις..."

Γιώργο αν περιμένουμε λίγο, είμαι σίγουρος ότι θα υπάρξει και εκ νέου παράφραση!!!!

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση