Μιγαδικοί-3

kostas136 · #1

Έστω $w\in C$ για τον οποίο ισχύει $\displaystyle 3(w+\bar{w})+2i^{75}(w-\bar{w})=-26i^{90}$

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

καθώς και ποιός από αυτούς έχει το ελάχιστο μέτρο

β) Αν για τον $z\in C$ ισχύει $|z+i^{10}|^{2}+|z-w|^{2}=6$ (όπου

αυτός με το ελάχιστο μέτρο) να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z+1-5i|

pana1333 · #2

Δίνω μια "λίγο βιαστική" λύση....

1) Έστω w=x+yi. Τότε έχουμε $3\left( 2x\right)+2\left(2y \right)=26\Leftrightarrow 3x+2y=13$ . Άρα ο γ.τ των εικόνων των μιγαδικών w είναι η ευθεία (ε):

.

Για να βρούμε τον μιγαδικό που έχει ελάχιστo μέτρο λύνουμε το σύστημα $\begin{Bmatrix} y=\frac{2}{3}x\\3x+2y=13 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow x=3,y=2$ . Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο z=3+2i

.

2)

$\left|z-1 \right|^{2}+\left|z-\left(3+2i \right) \right|^{2}=6\Leftrightarrow \left|x-1+yi \right|^{2}+\left|x-3+\left(y-2 \right) \right|^{2}\Leftrightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}+x^{2}-6x+9+y^{2}-4y+4=6\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-4x-2y-4=0\Leftrightarrow \left(x^{2}-4x+4 \right)-4+\left(y^{2}-2y+1 \right)-1-4=0\Leftrightarrow \left(x-2 \right)^{2}+\left(y-1 \right)^{2}=9\Leftrightarrow \left|z-\left(2+i \right)|=3$ .

Επομένως από τριγωνική ανισότητα:

$2=\left|3-5 \right|=\left|\left|z-\left(3+i \right) \right \right|-\left|3-4i| \right|\leq \right) \right| \right|\left|z+1-5i \right|=\left|z-\left(2+i \right) \right+3-4i|\leq \left|z-\left(3+i \right) \right|+\left|3-4i \right|=3+5=8$

Άρα $2\leq \left|z+1-5i \right|\leq 8$

pana1333 · #3

Σύμφωνα με αυτό
viewtopic.php?f=51&t=16318 και επειδή ο αγαπητός parmenides δεν αφήνει τίποτα να περάσει

...δίνω και μια γεωμετρική λύση

: min_max.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Έστω Β η εικόνα του μιγαδικού u=-1+5i.

Η μέγιστη απόσταση του $\left|z-u \right|$ είναι η (BC)=(BΑ)+ρ ενώ η ελάχιστη του είναι (BD)=(BΑ)-ρ
Είναι (ΒΑ)=5 και ρ=3

Άρα (BC)=8 και (BD)=2

Ερώτηση (κυρίως σε όσους έχουν ασχοληθεί με την βαθμολόγηση), αν κάποιος μαθητής έλυνε την άσκηση με τριγωνική ανισότητα αφού και στις δύο περιπτώσεις τα αποτελέσματα είναι τα ίδια, πόσες μονάδες θα έπαιρνε αν θεωρήσουμε π.χ ότι το ερώτημα έπιανε 10 μονάδες.

Για να μην στείλω και άλλη δημοσίευση. Προφανώς και είναι άσχετο το γεγονός το ότι βγαίνουν τα αποτελέσματα ίδια με το γεγονός οτι ο ένας τρόπος λύσης ειναι σωστός κι ο άλλος όχι.
Καταρχήν το να χρησιμοποιήσει κανείς τριγωνική ανισότητα δεν είναι λάθος απλά δεν μας δίνει κατα ανάγκη το μέγιστο και το ελάχιστο. Στην περίπτωση όμως που είναι πιστεύω ότι δεν θα έπρεπε να αφαιρεθούν όλες οι μονάδες. Ελλειπής ναι Λάθος όχι

Όσο για τα περισσότερα λογάκια....φιλικά και μόνο και για να σε "πειράξω" λίγο...viewtopic.php?f=6&t=14982

parmenides51 · #4

Τώρα καλύτερα. Μαλλον χρειάζεται μερικά λογάκια η γεωμετρική αιτιολόγηση.
Βαθμολογήτης δεν ήμουν σε πανελλαδικές για να απαντήσω για τις μονάδες.
Ωστόσο νομίζω πως είναι άσχετο το γεγονός το ότι βγαίνουν τα αποτελέσματα ίδια με το γεγονός οτι ο ένας τρόπος λύσης ειναι σωστός κι ο άλλος όχι.

edit1: Ωστόσο βρίσκοντας τους μιγαδικούς (με τους τρόπους της Πυθίας) για τους οποίους έχουμε την ισότητα στην τριγωνική ανισότητα, ο τρόπος της τριγωνικής αυτομάτως γίνεται σωστός. Γενικά δεν βρίσκονται εύκολα.

edit2: Ενδεχομένως η διατύπωση ελλειπής να είναι ορθέστερη από την διατύπωση λάθος.

Μιγαδικοί-3

Μιγαδικοί-3

Re: Μιγαδικοί-3

Re: Μιγαδικοί-3

Re: Μιγαδικοί-3

Μέλη σε σύνδεση