Ολοκληρωματάκι

#1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : $\displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx$ .

#2

Γιά τό "ολοκληρωματάκι" δέν βρήκα κάτι καλύτερο από τήν μετατροπή:

Θέτωντας $x=\tan{\theta}$ , προκύπτουν $\sqrt{1+x^{2}}=\dfrac{1}{\cos{\theta}}$ καί $dx=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\,d\theta$ .

Επομένως $\displaystyle\int{\frac{x^{2}\,e^{\arctan{x}}}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx}=\int{\frac{\sin^2{\theta}\,e^{\theta}}{\cos^3{\theta}}\,d\theta}$ .

#3

Το ολοκλήρωμα αυτό είχε τεθεί στη ρουμάνικη μαθηματκή ολυμπιάδα το 1975 και υπάρχει στο βιβλίο του Ρασσιά Μαθηματική Αναλυση Ι β' τεύχος. Η λύση του έχει ως εξής : (δεν ξέρω αν λύνεται με κάποιο πιο εύκολο τρόπο)
Έστω $I=\displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx\,\,\,\,\,\,\,I_{1}=\displaystyle\int\frac{e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx\,\,\,\,\,\,\,I_{2}=\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx$ .
Έχουμε :
$I_{1}=\displaystyle\int\frac{\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\, dx=\displaystyle\int\sqrt{1+x^{2}}(e^{\arctan x})^{\prime}=\\ \sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx=\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-I_{2}$ .
Άρα
$I_{1}+I_{2}=\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}$ .
Ακόμα
$I_{2}=\displaystyle\int\frac{xe^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx=\displaystyle\int\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\, dx=\displaystyle\int x\sqrt{1+x^{2}}(e^{\arctan x})^{\prime}\, dx=x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-I_{1}-2\displaystyle\int\frac{x^{2}e^{\arctan x}}{\sqrt{1+x^{2}}}\, dx$
άρα $I=\displaystyle\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-(I_{1}+I_{2})}{2}=\frac{x\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}-\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{2}$ ,
συνεπώς $I=\displaystyle\frac{(x-1)\sqrt{1+x^{2}}e^{\arctan x}}{2}+c$ .

Ολοκληρωματάκι

Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Re: Ολοκληρωματάκι

Μέλη σε σύνδεση