βγαλε το λαγο απο το καπελο

lne · #1

Το παιχνιδι "βγαλε το λαγο απο το καπελο" παιζεται απο δυο παικτες και εχει ως εξης.
Σε ενα καπελο τοποθετουμε 5 μαυρες μπιλιες και μια λευκη. Ο καθε παικτης, με τη σειρα, πρεπει να βγαλει μια μπιλια (χωρις να κρυφοκοιταζει βεβαια!) απο το καπελο: Αν η μπιλια ειναι μαυρη, ξαναμπαινει στο καπελο με τις υπολοιπες μπιλιες και το παιχνιδι συνεχιζεται. Νικητης του παιχνιδιου ειναι ο παικτης που θα βγαλει τη λευκη μπιλια (το "λαγο") απο το καπελο.
Σε αυτο το παιχνιδι, ποια ειναι η πιθανοτητα να νικησει ο πρωτος παικτης;

#2

Αν

είναι το ενδεχόμενο να κερδίσει ο πρώτος παίχτης το παιγνίδι και $\displaystyle{{X_i}}$ το ενδεχόμενο να κερδίσει ο πρώτος παίχτης στην

προσπάθεια, τότε $\displaystyle{P\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {P\left( {{X_i}} \right)} }$ ,

με $\displaystyle{P\left( {{X_1}} \right) = \frac{1}{6},{\text{ }}P\left( {{X_2}} \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} \cdot \frac{1}{6},{\text{ }}P\left( {{X_3}} \right) = {\left( {\frac{5}{6}} \right)^4} \cdot \frac{1}{6},{\text{ }}...}$

Τότε $\displaystyle{P\left( X \right) = \frac{1}{6} \cdot \left( {1 + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^4} + {\text{ }}...} \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{1 - \dfrac{{25}}{{36}}}} = \frac{6}{{11}}}$

#3

Διαφορετικά:

Έστω

η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης. Τότε $\displaystyle{p = \frac{1}{6} + \frac{5}{6}(1-p)}$ (διότι είτε θα βγάλει λαγό απ' το καπέλο με την πρώτη, είτε πλέον θα παίζουν το ίδιο παιγνίδι αλλά θα παίζει δεύτερος) και άρα $\displaystyle{p = \frac{6}{11}}$ .

(Υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα στην πιο πάνω λύση το οποίο όμως διορθώνεται.)

Kostas01 · #4

H πιθανότητα να επιλεγεί η άσπρη μπάλα είναι προφανώς η ίδια, ανεξάρτητα από το ποιός παίκτης την επιλέγει.
Προφανώς, ο πρώτος παίκτης έχει λίγες περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει επειδή παίζει πρώτος. Αλλά είναι λάθος η σκέψη ότι οι παραπανίσιες αυτές πιθανότητες τείνουν στο μηδέν, εάν ο πληθυσμός των δυνατών επιλογών τείνει στο άπειρο;

Εάν δύο άτομα ρίχνουν ένα ζάρι, και κερδίζει αυτός που θα φέρει πρώτος έξι, τότε ισχύει το ίδιο συμπέρασμα;

Δηλαδή πάντα ο πρώτος έχει αβαντάζ; Εννοείται σε παιχνίδια με ίσες πιθανότητες επιτυχίας.

#5

Όμοιο

Σε αγώνα μονομαχίας ευγενών (εναλλάξ βολές με πιστόλι) μεταξύ των

και

, ο

έχει πιθανότητα

να πετύχει στόχο σε κάθε βολή, ενώ ο

έχει πιθανότητα

, με

. Με επιτυχία σε κάποια βολή ο αγώνας τελειώνει. Πρώτος χτυπά ο

. Να βρεθεί η σχέση των

και

, ώστε οι πιθανότητες νίκης στον αγώνα, να είναι 50-50

μεταξύ των δυο αντιπάλων.

βγαλε το λαγο απο το καπελο

βγαλε το λαγο απο το καπελο

Re: βγαλε το λαγο απο το καπελο

Re: βγαλε το λαγο απο το καπελο

Re: βγαλε το λαγο απο το καπελο

Re: βγαλε το λαγο απο το καπελο

Μέλη σε σύνδεση