Ανάλυση - Αρχική

#1

Έστω

μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb R$ και

μια αρχική της

με την ιδιότητα

f(x) > F(x)

για κάθε

και (ΠΡΟΣΘΗΚΗ ) $F(0)\, > 0$ .

Να αποδειχθεί ότι : $\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } f(x)\, = \, + \,\infty$ .

ΣΧΟΛΙΑ
Έχω μια λύση, αλλά θέλω να την απλοποιήσω .
Σκέφτομαι να δώσω ότι F(0) > 0

, για να γλυκάνει η λύση , αφού αν αφαιρέσουμε από την

και την

το

μπορούμε να πάμε σε αντίστοιχες συναρτήσεις g , G

με

και

.
Θα περιμένω όμως και τις σκέψεις σας και μετά θα δω πώς θα την κάνω την άσκηση αυτή ένα θεματάκι με 2-3 ερωτήματα, ώστε να έχει και κάτι το διδακτικό ή χρήσιμο για τη δουλειά μας.

ΔΙΟΡΘΩΣΗ !!!

Στην αρχική διατύπωση, όπως θα καταλάβετε από την αλληλογραφία, έλλειπε η δεύτερη συνθήκη.

#2

Κύριε Μπάμπη,γεια σας και καλή χρονιά! Αναρωτιέμαι μήπως η άσκηση χρειάζεται περισσότερες διευκρινίσεις...
Αν πάρουμε $F(x) = - e^{ - x}$ τότε η παράγωγος της

είναι $f(x) = e^{ - x}$ και ισχύει f(x) > F(x)

για κάθε

στο

.Όμως $\displaystyle{\displaystyle \lim_{x \to + \infty }f(x) = 0}$ .
Υ.Γ αν κάποιος γνωρίζει που θα βρώ το lim στο texaide,ας το...σφυρίξει!Φεύγω και επιστρέφω το βράδυ.Γειά σας!

k-ser · #3

Μπράβο ρε Χρήστο!
Τόση ώρα έψαχνα ένα αντιπαράδειγμα...
Μπάμπη,
πρέπει να δώσεις μια θετική τιμή για την F.

Δεν ανέβηκες!
Έξω χιονίζει ασταμάτητα - είναι πολύ όμορφα...
Ποτέ δεν είναι αργά...

Χρήστο, για να γράψεις το lim, πάτα το κουμπί με το οποίο βάζεις εκθέτες, και μετά το ορθογώνιο που έχει μια μαύρη γραμμούλα από κάτω.

#4

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο IR και F μια αρχική της f με την ιδιότητα
f(x) > F(x) για κάθε χ. Να αποδειχθεί ότι : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = + \infty }$
.
Μια γρηγορη ΛΥΣΗ
Eιναι f(x) > F(x)ή F΄(x) - F(x)>0 επι $\displaystyle{\displaystyle {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}}}$ κ.τ.λ
Έστω g(x)= $\displaystyle{\displaystyle {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}}}$ F(x) προφανώς g γν.αύξουσα
•Αν F(0)>0 τοτε για $\displaystyle{\displaystyle x > 0 = > {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}}{\rm{F}}({\rm{x}}){\rm{ }} > {\rm{F}}\left( 0 \right){\rm{ }} = > {\rm{F}}({\rm{x}}){\rm{ }} > {{\rm{e}}^{\rm{x}}}{\rm{F}}\left( 0 \right)}$ αρα f(x) > F(x) > $\displaystyle{\displaystyle {{\rm{e}}^{ {\rm{x}}}}}$ F(0) οποτε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) \ge \infty {\rm{F}}\left( 0 \right) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty }$

• Αν F(0)=0 τοτε F(x) >0αρα F΄(x) >0 από την f(x) > F(x) δηλαδη F γν.αυξουσα
απο ΘΜΤ στο [0 ,χ] υπαρχει ξ του (0,χ) ωστε F(x) =χF΄(ξ) αρα f(x) > F(x) >χF΄(ξ) οποτε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) \ge \infty \Rightarrow .......\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty }$
•

Αν F(0)<0 ........................προβλημα

#5

Μπαμπη ελπιζω να μην σε πειραζει που την πειραξα λιγο;

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R και F μια αρχική της f με την ιδιότητα
f(x) > F(x) για κάθε x. Αν $\displaystyle{F(0) \ge 0}$ να αποδειχθεί ότι :
Α. Η g(x)= F(x) $\displaystyle{\displaystyle {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}}}$ είναι γν. αύξουσα,
Β. Η F(x)>0 για χ>0,
Γ. Η F(x) γν. αύξουσα για χ>0,
Δ. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = + \infty }$ .

#6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο IR και F μια αρχική της f με την ιδιότητα
f(x) > F(x) για κάθε χ. Να αποδειχθεί ότι :
$\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } f(x)\, = \, + \,\infty$ .

Μπάμπη, μία αθώα βελτίωση διορθώνει την άσκηση, και μάλιστα την κάνει ενδιαφέρουσα για μαθητές. Η νέα διατύπωση είναι

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R και έστω για κάποιο a $\in$ R ισχύει
$f(x) > \int_{a}^{x}{f(t)}dt$ για κάθε . Να αποδειχθεί ότι ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}}f(x) = \infty$ .
(ακόμα καλύτερα, να αποδειχθεί ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}}\int_{a}^{x}{f(t)}dt= \infty).$

Απόδειξη. Είναι $\frac{d}{dx}\left(e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt\right)= e^{-x}\left( f(x)-\int_{a}^{x}{f(t)}dt\right)>0$ , άρα η $e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt$ είναι γνήσια αύξουσα στο $[a, +\infty]$ .
Οπότε για x > b > a, όπου b σταθερός, έχουμε
$e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt > e^{-b}\int_{a}^{b}{f(t)}dt > 0$
άρα
$\int_{a}^{x}{f(t)}dt > e^xe^{-b}\int_{a}^{b}{f(t)}dt$ .
Παίρνοντας όριο του x τείνοντος στο άπειρο, έπεται το ζητούμενο.

Σχόλιο: Αν και η άσκηση δείχνει να είναι ολόιδια με την αρχική, αλλά φυσικά δεν είναι. Αξίζει το κόπο να δείτε πως η νέα διατύπωση
παρακάμπτει το αντιπαράδειγμα του Χρήστου και πως η προβληματική περίπτωση F(0) < 0 που επισήμανε ο Κώστας, δεν υπεισέρχεται.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο IR και F μια αρχική της f με την ιδιότητα
f(x) > F(x) για κάθε χ. Να αποδειχθεί ότι :
$\mathop {\lim }\limits_{x\, \to \, + \,\infty } f(x)\, = \, + \,\infty$ .

Μπάμπη, μία αθώα βελτίωση διορθώνει την άσκηση, και μάλιστα την κάνει ενδιαφέρουσα για μαθητές. Η νέα διατύπωση είναι

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R και έστω για κάποιο a $\in$ R ισχύει
$f(x) > \int_{a}^{x}{f(t)}dt$ για κάθε x $\in$ R. Να αποδειχθεί ότι ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}}f(x) = \infty$ .
(ακόμα καλύτερα, να αποδειχθεί ότι $\lim_{x \rightarrow \infty}}\int_{a}^{x}{f(t)}dt= \infty).$

Απόδειξη. Είναι $\frac{d}{dx}\left(e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt\right)= e^{-x}\left( f(x)-\int_{a}^{x}{f(t)}dt\right)>0$ , άρα η $e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt$ είναι γνήσια αύξουσα.
Οπότε για x > b > a, όπου b σταθερός, έχουμε
$e^{-x}\int_{a}^{x}{f(t)}dt > e^{-b}\int_{a}^{b}{f(t)}dt > 0$
άρα
$\int_{a}^{x}{f(t)}dt > e^xe^{-b}\int_{a}^{b}{f(t)}dt$ .
Παίρνοντας όριο του x τείνοντος στο άπειρο, έπεται το ζητούμενο.

Σχόλιο: Αν και η άσκηση δείχνει να είναι ολόιδια με την αρχική, αλλά φυσικά δεν είναι. Αξίζει το κόπο να δείτε πως η νέα διατύπωση
παρακάμπτει το αντιπαράδειγμα του Χρήστου και πως η προβληματική περίπτωση F(0) < 0 που επισήμανε ο Κώστας, δεν υπεισέρχεται.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Εύχομαι κατ' αρχάς σε όλη την παρέα Χρόνια πολλά και Καλή και Δημιουργική χρονιά και συγχαρητήρια στους δημιουργούς και συνελεστές τούτης εδώ της πολύ σημαντικής προσπάθειας.
Με την ευκαιρία να παραθέσω μία μικρή παρατήρηση στα παραπάνω.
Η συνθήκη "F(x)>0 για κάποιο πραγματικό αριθμό", μας είναι αρκετή στις αρχικές προϋποθέσεις, όπως και η συνθήκη "η συνάρτησή μας να μην είναι φραγμένη άνω".

#8

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Μπαμπη ελπιζω να μην σε πειραζει που την πειραξα λιγο;

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R και F μια αρχική της f με την ιδιότητα
f(x) > F(x) για κάθε x. Αν $\displaystyle{F(0) \ge 0}$ να αποδειχθεί ότι :
Α. Η g(x)= F(x) $\displaystyle{\displaystyle {{\rm{e}}^{ - {\rm{x}}}}}$ είναι γν. αύξουσα,
Β. Η F(x)>0 για χ>0,
Γ. Η F(x) γν. αύξουσα για χ>0,
Δ. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = + \infty }$ .

Καλημερίζω όλους τους εκκλεκτούς συναδέλφους και ευχαριστώ για τις βελτιώσεις. Όπως είδατε και στο αρχικό μου μήνυμα είχα και γω κάποιους ενδοιασμούς για την άσκηση και για κάποια ίσως κατάλληλη συνθήκη που πρέπει να δοθεί.
Στο περιοδικό , όπου έβλεπα στα γρήγορα τη σύντομη λύση που είχε( η άσκηση είναι από το διαγωνισμό Cuculescu 2004) , δεν είχε δυστυχώς καμία άλλη υπόθεση.
Θα κοιτάξω τώρα με προσοχή τη λύση που δίνεται εκεί , να δω που είναι το κενό.
...................................................................................................
Κώστα ευχαριστώ που το έκανες θεματάκι, διότι και μένα αυτός ήταν ο αρχικός μου σκοπός. Ήθελα όμως να δω μαζί σας την προσέγγιση στη λύση και μετά να την ..τεμαχίσω.
Χρόνια Πολλά και ..φωτισμένα !
( Στις Φωτεινές , Ουρανίες και όσους ακούν στο όνομα Φώτης, διπλά τα χρόνια πολλά !)

#9

Βάζω συνημμένη την επίσημη λύση. Δυστυχώς εκεί, υπάρχει ένα σημαντικό κενό σε ένα ... αθώο σημείο που από συνήθεια ο συμβολισμός μας παρασύρει σε λάθος. Το σημείο αυτό με την πρώτη ανάγνωση μου διέφυγε και μένα .
Ζητώ συγνώμη που σας παίδεψα

.Όμως τελικά οι παρεμβάσεις σας δημιούργησαν μια καλή άσκηση , οπότε μένω με την ελαφρά ικανοποίηση ότι κάτι πήραμε όλοι από αυτή την επικοινωνία.

Μπάμπης

Ανάλυση - Αρχική

Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Re: Ανάλυση - Αρχική

Μέλη σε σύνδεση