Γεωμετρια

sorfan · #1

Τη βρήκα μου άρεσε και την δημοσιεύω.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας Α. Αν είναι:
ΑΒ=3, ΑΓ=9 και ΒΓ=8, να υπολογίστε την ΑΔ.

#2

αποδεικνύεται ότι : $\displaystyle{\delta_{a}=\frac{2}{b+c}\sqrt{bct(t-a)},\,\,\,\,t=\frac{a+b+c}{2}}$

δεν προλαβαίνω να γράψω την απόδειξη τώρα,(το βράδυ αν δεν την έχει δώσει κάποιος άλλος)

nonlinear · #3

sorfan έγραψε:Τη βρήκα μου άρεσε και την δημοσιεύω.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος ΑΔ της γωνίας Α. Αν είναι:
ΑΒ=3, ΑΓ=9 και ΒΓ=8, να υπολογίστε την ΑΔ.

Ισχυει ΑΔ^2=ΑΒ*ΑΓ-ΒΔ*ΔΓ (σχολικό γεωμετρίας Πούλου-Ξένου – Θωμαΐδη σελ 232)

ΒΔ=ΑΒ*ΒΓ/(ΑΒ+ΑΓ) και ΔΓ=ΒΓ*ΑΓ/(ΑΒ+ΒΓ) (Θ.Δ.)

#4

Γενικότερα, θα αποδείξουμε ότι το μήκος της διχοτόμου $\displaystyle{AD}$ δίνεται από τη σχέση

$\displaystyle{AD=\frac{2bc}{b+c}\cos \frac{A}{2}.}$ (1)

Ένας τρόπος είναι ο ακόλουθος:

Ισχύει

$\displaystyle{(ABC)=(ABD)+(ACD)\Rightarrow \frac{1}{2}bc \sin A =\frac{1}{2}cAD\sin \frac{A}{2}+\frac{1}{2}bAD\sin \frac{A}{2}\Rightarrow }$

και επειδή $\displaystyle{\sin A =2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}$ , λαμβάνουμε την (1).

Με χρήση τώρα της

$\displaystyle{\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}}$ και του νόμου των συνημιτόνων, η (1) μετά τις πράξεις γράφεται

$\displaystyle{AD=\frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}.}$

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, βρίσκω

$\displaystyle{AD=3\sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{15}.}$

EDIT* Διόρθωσα το αποτέλεσμα. Ευχαριστώ τον Μιχάλη.

Ιστοσελίδα · #5

Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου παίρνω ${\rm B}\Delta = 2,\,\,\Delta \Gamma = 6$ .

Φέρω την προβολή ΑΕ στην ΒΓ. Θα ισχύει :
$\sqrt {\tau (\tau - \alpha )(\tau - \beta )(\tau - \gamma )} = \displaystyle\frac{{{\rm B}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm E}}}{2}$ , όπου $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ.

Με αντικατάσταση παίρνω ${\rm A}{\rm E} = \displaystyle\frac{{\sqrt {35} }}{2}$ και από πυθαγόρειο στο ΑΕΒ παίρνω ${\rm E}{\rm B} = \displaystyle\frac{1}{2}$ .

Τέλος από πυθαγόρειο στο ΑΕΔ προκύπτει ότι: ${\rm A}\Delta = x = \sqrt {15}$ .

: dixotomos.jpg (25.44 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Γεωμετρια

Γεωμετρια

Re: Γεωμετρια

Re: Γεωμετρια

Re: Γεωμετρια

Re: Γεωμετρια

Μέλη σε σύνδεση