Σημείο Lemoine!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και το σημείο Lemoine $\displaystyle{K}$ (δηλαδή το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων).

Να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{K}$ είναι το βαρύκεντρο του ποδικού του τριγώνου.

dimitris pap · #2

Edited!

Διεγράφη λάθος απάντηση

#3

Έστω $\triangle D EF$ το ποδικό τρίγωνο του σημείου

και $E^{\prime},\ F^{\prime},$ οι προβολές των $E,\ F$ αντιστοίχως, επί της πλευράς

του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC.$

Με βάση το παρακάτω Λήμμα, αποδεικνύεται εύκολα ότι $DE^{\prime} = DF^{\prime}$ και άρα η ευθεία DK,

ως η μεσοπαράλληλη ευθεία του τραπεζίου $EE^{\prime}F^{\prime}F,$ είναι η

-διάμεσος του τριγώνου $\triangle D EF.$

Ομοίως για τις ευθείες $EK,\ FK$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω η -συμμετροδιάμεσός του και $E,\ F,$ οι προβολές του επί των $AB,\ AC,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $DE^{\prime} = DF^{\prime},$ όπου $E^{\prime},\ F^{\prime}$ είναι οι προβολές των $E,\ F$ αντιστοίχως, επί της πλευράς

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το παραπάνω Λήμμα.

#4

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω η -συμμετροδιάμεσός του και $E,\ F,$ οι προβολές του επί των $AB,\ AC,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $DE^{\prime} = DF^{\prime},$ όπου $E^{\prime},\ F^{\prime}$ είναι οι προβολές των $E,\ F$ αντιστοίχως, επί της πλευράς

Απόδειξη. - Επειδή το σημείο

επί της πλευράς BC,

ανήκει στην

-συμμετροδιάμεσο του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC,$ ισχύει ως γνωστό, $\displaystyle\frac{DE}{DF} = \frac{AB}{AC}$ ,(1)

αλλά και $\displaystyle\frac{DB}{DC} = \frac{(AB)^{2}}{(AC)^{2}}$ ,(2)

Από $(1),\ (2)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{DB}{DC} = \frac{(DE)^{2}}{(DF)^{2}}$ ,(3)

Αλλά, στα ορθογώνια τρίγωνα $\triangle EBD,\ \triangle FCD$ έχουμε $(DE^{\prime})\cdot (DB) = (DE)^{2}$ ,(4)

και $(DF^{\prime})\cdot (DC) = (DF)^{2}$ ,(5)

Από $(3),\ (4),\ (5)$ $\Longrightarrow$ $DE^{\prime} = DF^{\prime}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#5

Παραθέτω την απόδειξη από το βιβλίο του Α.Φ.Πάλλα: Μεγάλη Γεωμετρία τόμος Α΄Τεύχος Β΄Τρίτο και Τέταρτο βιβλίο. Θεώρημα 386 σελ. 228.
Απόδειξη:
Γίνεται χρήση της πρότασης:
Αν x, y, z είναι οι αποστάσεις του σημείου του Lemoine Κ από τις πλευρές α, β, γ του τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει:
$\displaystyle \frac{x}{\alpha }=\frac{y}{\beta }=\frac{z}{\gamma }$
Από την πρόταση αυτή προκύπτει ότι:
$\displaystyle x=\frac{2\alpha E}{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2},y=\frac{2\beta E}{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2},z=\frac{2\gamma E}{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}$ (1)
όπου:
$\displaystyle x=K\Delta ,y=KE, z=KZ$
Για να δειχθεί τώρα πως το σημείο Κ είναι το κ.β. του ποδικού τριγώνου αρκεί να δειχθεί ότι τα εμβαδά των τριγώνων (ΚΔΕ), (ΚΕΖ) και (ΚΖΔ) είναι ίσα.
Όμως τα τρίγωνα αυτά σε σχέση με τα τρίγωνα (ΓΔΕ), (ΑΕΖ) και (ΒΔΖ) λόγω της εγραψιμότητας των τετραπλεύρων (ΚΔΓΕ), (ΚΕΑΖ) και (ΚΖΒΔ) αντίστοιχα
έχουν εμβαδά σε σχέση με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ που θα ικανοποιούν τις σχέσεις:
$\displaystyle \frac{(K\Delta E)}{(AB\Gamma) }=\frac{xy}{\alpha \beta },\frac{(KEZ)}{(AB\Gamma )}=\frac{yz}{\beta \gamma },\frac{(KZ\Delta )}{(AB\Gamma )}=\frac{zx}{\gamma \alpha }$
Η τελευταίες σχέσεις σύμφωμα με την (1) δίνουν:
$\displaystyle (K\Delta E)=(KEZ)=(K\Delta Z)=\frac{4E^3}{(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)^2}$
που σημαίνει πώς το Κ είναι το κ.β του ποδικού αυτού τριγώνου.

#6

Δίνω άλλες δύο αναφορές για την απόδειξη που μας έδωσε ο Κώστας αμέσως πριν, γιατί νομίζω ότι το βιβλίο του Α.Φ.ΠΑΛΛΑ είναι δυσεύρετο, ενώ τα άλλα δύο ( παραδόξως ) κυκλοφορούν ακόμα.

(1) - Ν.Α.ΚΙΣΚΥΡΑ : Θεωρήματα και Προβλήματα Γεωμετρίας - Επιπεδομετρία - Βιβλία 4ο & 5ο - σελίδα 102 - Αυτοέκδοση - Αθήνα 1973.

(2) - Χ.ΤΑΒΑΝΛΗ : Επίπεδος Γεωμετρία 1 - σελίδα 265 - Εκδόσεις Ι. Χιωτέλλη - Αθήνα 1970 (;).

$\bullet$ Η απόδειξη αυτή βασίζεται στην ιδέα ότι τα τρία τρίγωνα που ορίζονται από τις πλευρές δοσμένου τριγώνου και το βαρύκεντρό του, έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Άλλη μία αναφορά που έχω υπόψη μου γι' αυτήν την απόδειξη, είναι στο βιβλίο του Γ.ΤΣΙΝΤΣΙΦΑ : Γεωμετρία - τεύχος 1, Επιπεδομετρία - σελίδες 313, 314 - Εκδόσεις Σύγχρονο Βιβλιοπωλείο - Θεσσαλονίκη 1970.

Αλλά, αυτό κι αν είναι δυσεύρετο βιβλίο, τουλάχιστον στην Αθήνα.

ΥΓ. (04-04-2017) Δείτε Εδώ , μία αναφορά του Αντρέα Χατζηπολάκη, για μία άλλη απόδειξη η οποία οφείλεται στον αγαπητό φίλο Tran Quang Hung, από το Βιετνάμ.

Σημείο Lemoine!

Σημείο Lemoine!

Re: Σημείο Lemoine!

Re: Σημείο Lemoine!

Re: Σημείο Lemoine!

Re: Σημείο Lemoine!

Re: Σημείο Lemoine!

Μέλη σε σύνδεση