Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

mathxl · #1

Να δείξετε ότι
$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$ - $\sqrt[3]{-2+\sqrt{5}}$ = 1
Μέχρι 1-12-2010 α λυκείου άλγεβρα

Vpantelis · #2

Eukleidis · #3

$\displaystyle{A = \root 3 \of {2 + \sqrt 5 } - \root 3 \of {\sqrt 5 - 2} = \root 3 \of {\frac{{16 + 8\sqrt 5 }}{8}} - \root 3 \of {\frac{{8\sqrt 5 - 16}}{8}} = \root 3 \of {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}}{8}} - \root 3 \of {\frac{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}}{8}} = 1}$

viewtopic.php?f=69&t=4861&p=27357#p27357

ξαροπ · #4

Εναλλακτικά $1 + \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} + (-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}) = 0$

άρα από τον τύπο του Euler $a+b+c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ άμεσα παρατηρούμε

$1^3 +(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^3 +(-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2})^3 = -3\sqrt[3]{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$

$\Leftrightarrow 1 +\sqrt{5} - 2 -\sqrt{5} -2 = -3\sqrt[3]{1}$

ή

-3 = -3

που προφανώς ισχύει.

(για να είμαστε πλήρεις, επειδή $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Leftrightarrow a+b+c = 0 or a=b=c$ πρέπει να αποκλείσουμε την περίπτωση $1 = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} = \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι δεν ισχύει)

mathxl · #5

ξαροπ έγραψε:Εναλλακτικά $1 + \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} + (-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}) = 0$

άρα από τον τύπο του Euler $a+b+c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ άμεσα παρατηρούμε

$1^3 +(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^3 +(-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2})^3 = -3\sqrt[3]{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$

$\Leftrightarrow 1 +\sqrt{5} - 2 -\sqrt{5} -2 = -3\sqrt[3]{1}$

ή

που προφανώς ισχύει.

(για να είμαστε πλήρεις, επειδή $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Leftrightarrow a+b+c = 0 or a=b=c$ πρέπει να αποκλείσουμε την περίπτωση $1 = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} = \sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι δεν ισχύει)

Αυτήν την λύση είδα και θα έβαζα γιαυτό την πρότεινα...βέβαια δεν θυμόμουν ότι την είχα ξαναπροτείνει

Ευχαριστώ

Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Re: Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Re: Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Re: Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Re: Υπολογισμός διαφοράς με ριζικά

Μέλη σε σύνδεση