Καλησπέρα mathematica!!!

nickthegreek · #1

(Ελπίζω να μη το έχουμε ξανασυζητήσει!)

Έχουμε τέσσερις ανθρώπους που στέκονται στις τέσσερις κορυφές ενός τετραγώνου πλευράς d=1km

.

Ο κάθε άνθρωπος κινείται προς τον επόμενό του με ταχύτητα 6 km/h

Τι τροχιές ακολουθεί ο καθένας;;;Πότε και πού θα συναντηθούν;;;

userresu · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

k-ser · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

k-ser · #5

: Kinisi.png (49.87 KiB) Προβλήθηκε 2142 φορές

Έστω Αt , Bt , Γt και Δt οι θέσεις των τεσσάρων τη χρονική στιγμή t.
Θα πρέπει ο ρυθμός μεταβολής των (ΑtBt ), (BtΓt ), (ΑtΔt ) να είναι σταθερός και ίσος με -6km/h. Έτσι, θα ισχύει: (ΑtBt )= (ΓtBt )= (ΔtΓt )= (ΑtΔt )=-6t+1 Km .
Μπορούμε να δείξουμε, με τη βοήθεια της συμμετρίας, ότι το τετράπλευρο ΑtBtΓtΔt είναι τετράγωνο με (Α, Αt , Bt ), (Β, Bt , Γt ), (Γ, Δt , Γt ) , (Δ, Αt , Δt ) συνευθειακές τριάδες σημείων.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑtΑ θα είναι: Ο1Αt =0,5 Km για κάθε χρονική στιγμή t, με Ο1 το μέσο του ΑΔ.
Συνεπώς, η κίνηση του Αt γίνεται πάνω στο τόξο ΑΚ, (τεταρτοκύκλιο), του κύκλου (Ο1, 0,5Km). Το ίδιο θα συμβεί με τις κινήσεις των Bt , Γt και Δt .
Ακόμη, μπορούμε να δείξουμε ότι το κέντρο όλων των τετραγώνων Αt Bt Γt Δt είναι το κέντρο Κ του αρχικού τετραγώνου.
Οπότε, το σημείο που θα συναντηθούν οι Α,Β,Γ,Δ είναι το Κ σε χρόνο κατά τον οποίο ΑtBt = ΓtBt = ΔtΓt = ΑtΔt =-6t+1=0 h , δηλαδή σε χρόνο t=10min.

#6

Χμμμμμ, κάτι δεν μου αρέσει στα παραπάνω:

Ας εξετάσουμε την σχετική κίνηση των τεσσάρων ανθρώπων. Ο κάθε ένας από τους ανθρώπους, θεωρούμενος ως ακίνητος (με γλώσσα Φυσικής, αυτό ονομάζεται "σύστημα αναφοράς") βλέπει τον διπλανό του να έρχεται καταπάνω του σε ευθεία γραμμή και με σταθερή ταχύτητα. Άρα η τροχιά του είναι όσο το μήκος της πλευράς του αρχικού τετραγώνου.

Θα βρείτε πολύ ωραία μελέτη του προβλήματος στα παρακάτω. Δείχνουν και την τροχιά (που δεν είναι κυκλική).

1) http://www.sciencenews.org/view/generic ... of_Pursuit

Επίσης
2) http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/ ... /bugs.html

και ειδικά μην αμελήσετε να κάνετε κλικ στο σχήμα που δείχνει βήμα βήμα την κίνηση:

http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/ ... bugs2.html

3) Μαθηματική ανάλυση της κίνησης στο

An Interesting Problem to "Bug" Your Students With

Φιλικά,

Μιχάλης

k-ser · #7

Μιχάλη, δίκιο έχεις.
Επέλεξα τις "ιδανικές" θέσεις των Αt, Βt, Γt, Δt για να λύσω, με απλό τρόπο, ένα πολύπλοκο πρόβλημα. Δεν εξασφάλισα το εξής: αν στις θέσεις αυτές διατηρείται σταθερός ο ρυθμός μεταβολής των πλευρών του τετραγώνου - μάλλον αυτό δεν συμβαίνει!
Θα το ξανακοιτάξω.

userresu · #8

Το σχήμα μου δημιουργήθηκε πάνω στις εξής "βάσεις":
Λόγω συμμετρίας, ο επόμενος κάποιου ανθρώπου έχει την ίδια θέση με αυτόν, αν στρέψουμε το αρχικό τετράγωνο 90 μοίρες (έστω προς τη θετική φορά). Επομένως αν θεωρήσουμε την κάτω αριστερά κορυφή ως την αρχή των αξόνων, ο άνθρωπος που βρίσκεται στη θέση (x,y)

ακολουθάει τον άνθρωπο που βρίσκεται στη θέση (y,1-x)

. Από αυτό προκύπτει ότι για κάθε απειροελάχιστο χρονικό διάστημα, ο άνθρωπος που βρίσκεται στη θέση (x,y)

, κινείται πάνω στην ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης $\frac{1-x-y}{y-x}$ (εκτός αν βρίσκεται πάνω στην ευθεία y=x, οπότε κινείται πάνω σε κατακόρυφη ευθεία). Τα υπόλοιπα τα κανόνισε η τεχνολογία.

k-ser · #9

Μιας και ασχολήθηκα, παρουσιάζω την παρακάτω λύση.

: kin3.png (95.96 KiB) Προβλήθηκε 1912 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου τη χρονική στιγμή

. Θα πρέπει $a^{\prime}(t)=-6$ άρα a(t)=-6t+1

.
Οι τέσσερις κορυφές θα συναντηθούν την στιγμή που a(t)=0

, δηλαδή σε χρόνο t=1/6

.
Η κίνηση συνεπώς θα μελετηθεί στο χρονικό διάστημα [0,1/6]

.
Έστω

το αρχικό τετράγωνο ( t=0

) και

η θέση του τη χρονική στιγμή

.
Έστω

το κέντρο του ABCD

. Τοποθετούμε το τετράγωνο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ώστε: O(0,0)

και

.

Το διάνυσμα $\vec{v}$ της κίνησης της κάθε κορυφής του μπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετες συνιστώσες. Η μία από αυτές , $\vec{v_r}$ , μειώνει την ακτίνα του τετραγώνου $\dispalystyle r(t)=\frac{1-6t}{\sqrt{2}}$ με ρυθμό $-3\sqrt{2}$ . Έχει, συνεπώς, σταθερό μέτρο: $\left|\vec{v_r}\right|=3\sqrt{2}$
Η άλλη, $\vec{\omega}$ , μεταβάλλει τη γωνία $\theta$ με ρυθμό $\theta ^{\prime}(t)$ . Το μέτρο της είναι: $\displaystyle \left|\vec{\omega}\right|=r(t)\cdot \theta^{\prime}(t)$
Όμως $\left|\vec{\omega}\right|=3\sqrt{2}$
Έτσι, $\displaystyle \theta ^{\prime}(t) =\frac{6}{1-6t} \Rightarrow \theta(t)=\ln(1-6t)^{-1}$ .

Οι πολικές συντεταγμένες κάθε κορυφής τη στιγμά

θα είναι: $A_t( r(t),\theta(t))$ , $B_t\left( r(t),\frac{\pi}{2}+\theta(t)\right)$ , $C_t\left( r(t),\pi+\theta(t)\right)$ και $D_t\left( r(t),\frac{3\pi}{2}+\theta(t)\right)$ .
Συνεπώς, οι εξισώσεις κίνησης του A_t

είναι:
$\dispalystyle x(t)=\frac{1-6t}{\sqrt{2}}\cdot \cos\left(\ln(1-6t)^{-1} \right)$ , $\dispalystyle y(t)=\frac{1-6t}{\sqrt{2}}\cdot \sin\left(\ln(1-6t)^{-1} \right)$ , με $\displaystyle t \in \left[0,\frac{1}{6}\right)$
Είναι $\displaystyle x\left(\frac{1}{6}\right)=\lim_{t\to \frac{1}{6}}x(t)=0$ και $\displaystyle y\left(\frac{1}{6}\right)=\lim_{t\to \frac{1}{6}}y(t)=0$ .

Άρα η κορυφή Α του τετραγώνου θα βρεθεί στο κέντρο του τετραγώνου σε χρόνο $\dispalystyle t=\frac{1}{6}$ και θα διανύσει διάστημα:

$\displaystyle S= \int_0^{\frac{1}{6}} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^2+\left(y^{\prime}(t)\right)^2}dt= \int_0^{\frac{1}{6}} \sqrt{36}dt=1$ .

Στο παρακάτω αρχείο (GeoGebra) μπορείτε να δείτε την κίνηση των κορυφών του τετραγώνου μεταβάλλοντας τη θέση του σημείου Μ.

tetragono kinisi.ggb: (9.06 KiB) Μεταφορτώθηκε 95 φορές

k-ser · #10

Μια γενίκευση του προβλήματος σε κανονικό ν-γωνο.

Σε κανονικό ν-γωνο, με $\bf\nu >2$ , κάθε κορυφή του κινείται προς την επόμενη, πλησιάζοντας την, με σταθερή ταχύτητα. Να μελετηθεί η κίνηση.

Λύση.

Σχήμα

: n-gono kinis.png (129.09 KiB) Προβλήθηκε 1828 φορές

Καταρχήν, θα πρέπει να προσέξουμε την ορισμό της έκφρασης, «η κάθε κορυφή κινείται προς την επόμενη με σταθερή ταχύτητα». Εφόσον η ταχύτητα είναι μέγεθος διανυσματικό θα πρέπει να γνωρίζουμε την κατεύθυνση της κίνησης και το μέτρο της.
Δεδομένο 1. Όλες οι κορυφές του θα κινηθούν.
Δεδομένο 2. Ο ρυθμός μεταβολής της πλευράς του $\displaystyle a(t)$ θα πρέπει να είναι σταθερός, έστω $\displaystyle a^{\prime}(t)=a, \ \ a<0$ . Θα πρέπει, συνεπώς, να παραμένει σταθερός και ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του $\displaystyle r(t)$ , αφού ισχύει $\displaystyle a(t)=2r(t)\sin\left(\frac{\pi}{\nu}\right)$ .
Το διάνυσμα της κίνησης μιας κορυφής, έστω $\displaystyle \vec{v}$ , έχει κατεύθυνση την πλευρά του κανονικού ν-γώνου προς την επόμενη κορυφή.
Το μέτρο της δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτει με την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της πλευράς!
Θα πρέπει, όμως, η συγγραμμική στην ακτίνα συνιστώσα της ταχύτητας να έχει μέτρο:

$\displaystyle \left|\vec{v}\right|\cdot \cos\left(\frac{\pi-\frac{2\pi}{\nu}}{2}\right)=\left|r^{\prime}(t)\right|=\frac{-a}{2\sin \left(\frac{\pi}{\nu}\right)}$

Έτσι, προκύπτει ότι:

$\displaystyle \left|\vec{v}\right|=\frac{-a}{2\sin^2 \left(\frac{\pi}{\nu}\right)}$ .

Η άλλη συνιστώσα $\displaystyle \left|\vec{v_\theta}\right|$ της κίνησης είναι κάθετη στην ακτίνα και μεταβάλλει τη γωνία $\displaystyle \theta(t)$ , που σχηματίζει η $\displaystyle r(t)$ με την αρχική ακτίνα της κορυφής κατά τρόπο ώστε:

$\displaystyle r(t)\theta^{\prime}(t)=\left|\vec{v}\right|\cdot \cos\left(\frac{\pi}{\nu}\right)$

Από τα παραπάνω προκύπτει εύκολα ότι:

$\displaystyle \theta^{\prime}(t)\cdot \tan\left(\frac{\pi}{\nu}\right)=-\frac{r^{\prime}(t)}{r(t)}$

Οπότε η ακτίνα $\displaystyle r(t)$ και η γωνία $\displaystyle \theta(t)$ συνδέονται με τη σχέση:
$\displaystyle -\ln\left(r(t)\right)=\theta(t)\cdot \tan\left(\frac{\pi}{\nu}\right)$

Υποθέτοντας ότι το ν-γωνο είναι τοποθετημένο ώστε το κέντρο του Ο να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων και η κορυφή του $\displaystyle A_1$ ξεκινάει από τη θέση (1,0), οι πολικές συντεταγμένες των κορυφών του $\displaystyle A_i$ σε χρόνο $\displaystyle t$ θα δίνονται από τον τύπο:

$\displaystyle \bf{\color{red}{r(t)=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi}{\nu}\right)}\cdot t+1, \ \ \theta_i(t)=(i-1)\frac{2\pi}{\nu}-\frac{1}{\tan \frac{\pi}{\nu}}\cdot \ln\left(\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi}{\nu}\right)}\cdot t+1\right)}}$

Το χρονικό διάστημα της κίνησης είναι: $\displaystyle \bf{ \left[0,-\frac{2\sin \left(\frac{\pi}{\nu}\right)}{a}\right]}$

και το μήκος της καμπύλης που ακολουθεί κάθε κορυφή θα είναι:

$\displaystyle \bf {\int_0^{+\infty}{\sqrt{r^2(\theta)+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}}d\theta=...=\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{\nu}\right)}}$

Στο παρακάτω αρχείο (GeoGebra) μπορείτε να δείτε την κίνηση στο κανονικό δωδεκάγωνο.

n-gono kinisi.ggb: (10.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 94 φορές

.

Καλησπέρα mathematica!!!

Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Re: Καλησπέρα mathematica!!!

Μέλη σε σύνδεση