Βρείτε την πλευρά (10)

Ιστοσελίδα · #1

Βρείτε την πλευρά κανονικού πενταγώνου ABCDE

αν

ZITAVITA · #2

Από ομοιότητα τριγώνων EFG , EBC είναι
$\displaystyle{ \frac{2}{k} = \frac{x}{{2x + 2}} \Rightarrow k = \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{x} \Rightarrow k^2 = \frac{{16\left( {x + 1} \right)^2 }}{{x^2 }} }$
Στο ορθογώνιο EGH
$\displaystyle{ y^2 = x^2 - 1 }$
Στο ορθογώνιο EDH
$\displaystyle{ k^2 = y^2 + \left( {x + 1} \right)^2 = 2x^2 + 2x }$
Από τις 2 παραπάνω προκύπτει εξίσωση $\displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 }$ η οποία έχει ρίζα μεταξύ του 3 και του 4

Ωmega Man · #3

Από τις 2 παραπάνω προκύπτει εξίσωση \displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 } η οποία έχει ρίζα μεταξύ του 3 και του 4

$\displaystyle{\bf\frac{BE}{BF}=\Phi}$ όπου Φ ο χρυσός λόγος $\displaystyle{\bf \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ . Από την παραπάνω,

$\displaystyle{\bf \frac{2x+2}{x+2}=\Phi\Rightarrow x=\frac{2(\Phi -1)}{2-\Phi}}$ , και $\displaystyle{\bf x\approx3.235602094}$ ή καλύτερα $\displaystyle{\bf x=1+\sqrt{5}}$

Από το σχήμα που έκανε ο ZitaVita, στο τρίγωνο $\displaystyle{\bf F\overset{\triangle}{H}E}$ με Πυθαγόρειο θεώρημα $\displaystyle{\bf y^2=(\sqrt{5}+1)^{2}-1}$ . Όμοια από το τρίγωνο $\displaystyle{\bf E\overset{\triangle}{H}A}$ αν $\displaystyle{\alpha}$ η ζητούμενη πλευρά ,
$\displaystyle{\bf (\sqrt{5}+2)^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2}-1=\alpha^{2}\Rightarrow \alpha=\sqrt{(\sqrt{5}+2)^{2}+(\sqrt{5}+1)^{2}-1}}$ .

#4

μπορούμε επίσης να βρούμε τη ζητούμενη πλευρά εφαρμόζοντας νόμο συνημιτόνων στα ισοσκελή τρίγωνα

$FEG,\,\,\hat{FEG}=36^o$ και $AFE,\,\,\hat{AFE}=108^o$

Ιστοσελίδα · #5

Άλλη μια λύση είναι η εξής:

Αφού αναλύσουμε τις γωνίες προκύπτουν τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα FGH, EFA.

Από το λόγο ομοιότητας (θέτοντας FA=FH=FE=x και από το ισοσκελές τρίγωνο AGE: AE=x+2)παίρνω $\displaystyle\frac{2}{x} = \displaystyle\frac{x}{{x + 2}} \Rightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ .

Από την τελευταία εξίσωση δεκτή λύση είναι η $\sqrt 5 + 1$ , οπότε η πλευρά του κανονικού πενταγώνου ABCDE θα είναι $\sqrt 5 + 3.$

Ανδρέας Πούλος · #6

Μιχάλη,
αν ζούσες στον Μεσαιώνα και δημοσίευες τέτοια κείμενα για την πεντάλφα,
σίγουρα θα έσπαγες πέτρες (εννοείται με σιδερένια μπάλα στο πόδι) στα υπόγεια κάποιου κτιρίου της "Ιεράς Εξέτασης".
Όσο για τη Φωτεινή δεν το συζητώ, κατευθείαν στην πυρά, είναι ολοφάνερο ότι πρόκειται για μάγισσα.
Τα γράφω αυτά, επειδή είχα δώσει μία εργασία σε έναν μαθητή μου για το κανονικό πεντάγωνο και την πεντάλφα,
από την εποχή των Πυθαγορείων έως και την Αναγέννηση.
Εντυπωσιακές πληροφορίες προέκυψαν για τις "σατανικές" ιδιότητες που αποδόθηκαν στο σχήμα αυτό,
κατά τη γνώμη μου από σκοταδιστές, οι οποίοι είχαν καταδικάσει με βαριές ποινές την ενασχόληση με τα Μαθηματικά.
Αν και οι περισσότερες πληροφορίες προέρχονται από το Διαδίκτυο, για λόγους δεοντολογίας πρέπει να ζητήσω την άδεια
να αναρτήσω την ενδιαφέρουσα - κατά την άποψή μου - εργασία, επισκόπηση στο θέμα του κανονικού πενταγώνου.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

ZITAVITA · #7

Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση $\displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 }$
μπορώ να βρω την λύση $\displaystyle{ \sqrt 5 + 1 }$ που είναι σωστή;
καθότι μετα για $\displaystyle{ x = \sqrt 5 + 1 }$ το $\displaystyle{ k = \sqrt 5 + 3 }$ εύκολα

#8

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Εντυπωσιακές πληροφορίες προέκυψαν για τις "σατανικές" ιδιότητες που αποδόθηκαν στο σχήμα αυτό,
κατά τη γνώμη μου από σκοταδιστές, οι οποίοι είχαν καταδικάσει με βαριές ποινές την ενασχόληση με τα Μαθηματικά.

Ανδρέα,

επειδή έχω και εγώ ασχοληθεί με το θέμα, έχεις δίκιο. Σε βλέπω για την πυρά. Αν την γλυτώσεις, κάνε εργασία και για την εξάλφα οπότε ... κάηκες.

Επίσης έχω βρεί πάρα πολύ ωραίο υλικό για την σχέση (εννοώ "σχέση") Μαθηματικών και Μαγείας. Π.χ. ο Άγιος Αυγουστίνος έχει (στα Λατινικά) ένα απίστευτο τσιτάτο που καταδικάζει απερίφραστα τα Μαθηματικά. Όμως σπεύδω να τονίσω ότι υπάρχει και μία παρανόηση εδώ. Ο Άγιος Αυγουστίνος και οι αντίστοιχοι επικριτές χρησιμοποιούσαν τον όρο Μαθηματικά με την έννοια που σήμερα αποδίδουμε στον όρο Αστρολογία. Την εποχή του δηλαδή, στον Ρωμαϊκό κόσμο, η λέξη Μαθηματικά δεν είχε το νόημα (ως λέξη) που είχε την αρχαιότητα ή σήμερα.
Στην πραγματικότητα, τότε τα Μαθηματικά έχαιραν εκτίμησης και ήταν μέρος της Παιδείας με το όρο quadrivium (= Αριθμητική, Γεωμετρία, Αστρονομία και Μουσική).
Η αρνητική απόδοση του όρου Μαθηματικά διατηρήθηκε μέχρι και την εποχή της Τουρκοκρατίας, αλλά αποκαταστάθηκε από τους Διαφωτιστές, στον πόλεμό τους κατά των δεισιδαιμονιών.

Αν ευδοκίσω, θα γράψω το άρθρο περί Μαθηματικών και Μαγείας.

Φιλικά,

Μιχάλης

mathfinder · #9

ZITAVITA έγραψε:Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση $\displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 }$
μπορώ να βρω την λύση $\displaystyle{ \sqrt 5 + 1 }$ που είναι σωστή;
καθότι μετα για $\displaystyle{ x = \sqrt 5 + 1 }$ το $\displaystyle{ k = \sqrt 5 + 3 }$ εύκολα

$x^{3}-8x-8=x^{3}+8-8x-16=\left(x+2 \right)\left(x^{2}-2x+4 \right)-8\left(x+2 \right)=\left(x+2 \right)\left(x^{2}-2x-4 \right) \kappa .\lambda .\pi .$

Ιστοσελίδα · #10

ZITAVITA έγραψε:Μια ερώτηση

Πώς από την εξίσωση $\displaystyle{ x^3 - 8x - 8 = 0 }$
μπορώ να βρω την λύση $\displaystyle{ \sqrt 5 + 1 }$ που είναι σωστή;
καθότι μετα για $\displaystyle{ x = \sqrt 5 + 1 }$ το $\displaystyle{ k = \sqrt 5 + 3 }$ εύκολα

Η τελική σου εξίσωση είναι:
$2{x^4} + 2{x^3} - 16{x^2} - 32x - 16 = 2(x + 1)({x^3} - 8x - 8) = 2(x + 1)(x + 2)({x^2} - 2x - 4) = 0$
,οπότε απορρίπτονται οι αρνητικές τιμές -1, -2 και $1 - \sqrt 5$ και δεχόμαστε μόνο την $1 + \sqrt 5 .$

Βρείτε την πλευρά (10)

Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Re: Βρείτε την πλευρά (10)

Μέλη σε σύνδεση