Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (5)

#1

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\oint_{C}\frac{1}{z^{p}(1+z+z^2)}\,dz}$ , όπου

θετικός ακέραιος και

ο κύκλος $\displaystyle{|z|=1/2}$ με τη θετική φορά.

kwstas12345 · #2

Θεωρούμε την συνάρτηση: $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{1}{z^{p}\left(z^{2}+z+1 \right)},z\in \mathbb{C},p \in \mathbb{N}$ . Εύκολα βλέπουμε πως η συνάρτηση αυτή έχει απλούς πόλους του μιγαδικούς $\displaystyle 0,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

και μάλιστα το

είναι

τάξης μιας και: $\displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}z^{p}f\left(z \right)=1\neq 0$ . Oι αλλοι δύο μιγαδικοί

αριθμοί επειδή έχουν μέτρο

δέν ανήκουν στον κύκλο

. Τώρα θα διακρίνουμε περιπτώσεις για τον

.Άν

τότε:

$\displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z^{p}\left(z^2+z+1 \right)}dz=\oint_{C}\frac{1}{z^2+z+1 }dz=0$ . Άν $\displaystyle p\neq 0$ τότε: $\displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z^{p}\left(z^2+z+1 \right)}dz=2\pi i Res_{z=0}f\left(z \right)$ .

Όμως επειδή είναι

τάξης: $\displaystyle Res_{z=0}f\left(z \right)=\frac{1}{\left(p-1 \right)!}\left[z^p\frac{1}{z^p\left(z^2+z+1 \right)} \right]_{z=0}^{\left(p-1 \right)}=\frac{1}{\left(p-1 \right)!}\left[\frac{1}{z^2+z+1 } \right]_{z=0}^{\left(p-1 \right)}$

Όμως πάλι: $\displaystyle z^2+z+1=\left(z+\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)\left(z+\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right)=\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)\left(z+e^{-\frac{i\pi}{3}} \right)$

και: $\displaystyle \frac{1}{z^2+z+1}=\frac{1}{e^{-i\frac{\pi}{3}}-e^{i\frac{\pi}{3}}}\left(\frac{1}{z+e^{i\frac{\pi}{3}}}-\frac{1}{z+e^{-i\frac{\pi}{3}}} \right)=$ $\displaystyle -\frac{1}{i\sqrt{3}}\left(\frac{1}{z+e^{i\frac{\pi}{3}}}-\frac{1}{z+e^{-i\frac{\pi}{3}}} \right)$

Επίσης: $\displaystyle \left[\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-1} \right]'=-\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-2},\left[\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-1} \right]''=\left(-1 \right)\left(-2 \right)\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-3},...$ $\displaystyle ,\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{(p-1)}=\left(-1 \right)\cdot\left(-2 \right)\cdot...\cdot\left(1-p \right)\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-p}=\left(-1 \right)^{p-1}\left(p-1 \right)!\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{-p}$

Όμοια θα έχουμε: $\displaystyle \left(z+e^{i\frac{-\pi}{3}} \right)^{(p-1)}=\left(-1 \right)^{p-1}\left(p-1 \right)!\left(z+e^{i\frac{-\pi}{3}} \right)^{-p}$

και θα είναι: $\displaystyle \left(\frac{1}{z^2+z+1} \right)^{\left(p-1 \right)}=-\frac{\left(p-1 \right)!\left(-1 \right)^{p-1}}{i\sqrt{3}}\left[\frac{1}{\left(z+e^{i\frac{\pi}{3}} \right)^{p}}-\frac{1}{\left(z+e^{-i\frac{\pi}{3}} \right)^{p}} \right]$

και αν βάλω όπου

το

και επειδή: $\displaystyle e^{ip\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{p\pi}{3}+i\sin\frac{p\pi}{3},e^{-ip\frac{\pi}{3}}=\cos\frac{p\pi}{3}-i\sin\frac{p\pi}{3}$ .

$\displaystyle \left(\frac{1}{z^2+z+1} \right)^{\left(p-1 \right)}_{z=0}=\frac{2\left(p-1 \right)!\left(-1 \right)^{p-1}}{\sqrt{3}}\sin\frac{p\pi}{3}$

Έτσι: $\displaystyle Res_{z=0}f\left(z \right)=\frac{2\left(-1 \right)^{p-1}}{\sqrt{3}}\sin\frac{p \pi}{3}$ . Άρα: $\displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z^{p}\left(z^2+z+1 \right)}dz=\frac{4\pi i\left(-1 \right)^{p-1}}{\sqrt{3}}\sin\frac{p\pi}{3}$

η πιο γενικά: $\displaystyle \oint_{C}\frac{1}{z^{p}\left(z^2+z+1 \right)}dz=\begin{cases} \frac{-4\pi i}{\sqrt{3}}\sin\frac{p\pi}{3}& \text{ , } p=2k,k\in \mathbb{N^{*}} \\ \frac{4\pi i}{\sqrt{3}}\sin\frac{p\pi}{3}& \text{ , } p=2k+1,k\in \mathbb{N^} \end{cases}$

Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (5)

Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (5)

Re: Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (5)

Μέλη σε σύνδεση