Aνισότητα

erxmer · #1

Δίνεται η f 2 φορές παρ/μη στο [1,9] και κυρτή. Δείξτε οτι
$f(4)\leq \frac{5}{8}f(1)+\frac{3}{8}f(9)$

εως 25/12

kwstas12345 · #2

Μια λύση: $\displaystyle f\left(4 \right)\leqslant \frac{5}{8}f\left(1 \right)+\frac{3}{8}f\left(9 \right)\Leftrightarrow 8f\left(4 \right)\leqslant 5f\left(1 \right)+3f\left(9 \right)$ $\displaystyle \Leftrightarrow 5f\left(4 \right)-5f\left(1 \right)\leqslant 3f\left(9 \right)-3f\left(4 \right)\Leftrightarrow \frac{f\left(4 \right)-f\left(1 \right)}{4-1}\leqslant \frac{f\left(9 \right)-f\left(4 \right)}{9-4}$

Επειδή ικανοποιύνται οι προυποθέσεις το ΘΜΤ στα $\left[1,4 \right],\left[4,9 \right]$ θα υπάρχουν: $\displaystyle x_{1},x_{2}\in \left(1,4 \right),\left(4,9 \right)$ αντίστοιχα τέτοια ώστε: $\displaystyle f'\left(x_{1} \right)=\frac{f\left(4 \right)-f\left(1 \right)}{3},f'\left(x_{2} \right)=\frac{f\left(9 \right)-f\left(4 \right)}{5}$

Άρα η πάνω μετασχηματίζεται στην: $\displaystyle f'\left(x_{2} \right)\geqslant f'\left(x_{1} \right)$ που είναι προφανής αφού η

κυρτή

άρα θα είναι αναγκαστικά $\displaystyle f''\left(x \right)\geqslant 0 \forall x \in \left[1,9 \right]$ άρα η

γνησίως αύξουσα.

Dreamkiller · #3

Από την ανισότητα Jensen έχουμε πως $f(1)+f(5) \geq 2f(3) \Leftrightarrow 2f(1)+2f(5) \geq 4f(3)$ .
Από την ίδια ανισότητα είναι και $f(1)+f(9) \geq 2f(5) \Leftrightarrow 3f(1)+3f(9) \geq 6f(5)$ .
Προσθέτοντάς τες παίρνουμε $5f(1) +3f(9) \geq 4f(3)+4f(5)$ .
Αλλά πάλι από την Jensen $f(3)+f(5) \geq 2f(4)$ και άρα $5f(1)+3f(9) \geq 8f(4)$ .

Tsiri · #4

Dreamkiller έγραψε:Από την ανισότητα Jensen έχουμε πως $f(1)+f(5) \geq 2f(3) \Leftrightarrow 2f(1)+2f(5) \geq 4f(3)$ .
Από την ίδια ανισότητα είναι και $f(1)+f(9) \geq 2f(5) \Leftrightarrow 3f(1)+3f(9) \geq 6f(5)$ .
Προσθέτοντας τες παίρνουμε $5f(1) +3f(9) \geq 4f(3)+4f(5)$ .
Αλλά πάλι από την Jensen $f(3)+f(5) \geq 2f(4)$ και άρα $5f(1)+3f(9) \geq 8f(4)$ .

Μπορεί να πάρει κάποιος κατευθείαν ανισότητα Jensen στο [1,9] αφού είναι κυρτή στο διάστημα αυτό:

$\frac{5}{8}f(1)+\frac{3}{8}f(9) \geq f(\frac{5*1+3*9}{8}) = f(4)$

Aνισότητα

Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Re: Aνισότητα

Μέλη σε σύνδεση