Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Απάντηση
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

Σκέφτομαι ότι θα είναι πολύ καλό να γίνουν κάτι σαν ασκήσεις προετοιμασίας για τον Ευκλείδη είτε αυτά είναι παλιά θέματα είτε άλλων εδώ θα τα προτείνουμε και θα τα λύνουμε , θα είναι καλό και για πολλά παιδιά που δεν έχουν την δυνατότητα να αγοράσουν βιβλία ή να πηγαίνουν στα μαθήματα προετοιμασίας(προσωπικά είχα συναντήσει ταλαντούχα παιδιά που δεν προλαβαίνανε να προετοιμαστούνε διότι εργάζονταν και ούτε είχαν την οικ.δυνατότητα. Νομίζω όλοι θα είναι σύμφωνοι και όλοι θα συνεργαστούνε με θέματα επιπέδου ευκλείδη Α λυκείου , αντίστοιχα μπορούμε να δημιουργήσουμε για κάθε τάξη.
Ξεκινάω λοιπόν εγώ

1) Έστω οι αριθμοί a , b με a^2 - 4a + b^2 + 10b + 20 = 0 δείξτε ότι α > b .

2) Να δειχθεί ότι η εξίσωση x^2 - 4x - 19^{96}-96^{19} - 2000 = 0 δέν έχει ακέραια λύση .

(Ευκλείδης 96-97)

3) Έστω n θετικός ακέραιος , να δειχτεί ότι οι αριθμοί (n + 1)^2 και n(n-1) έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων

4) Έστω x , y > 0 και x^3 + y^2< 64 να αποδείξετε ότι x^4 + y^3 < 512

5) Έχούμε κέρματα και χαρτονομίσματα των 1, 10 και 100 ευρώ . Είναι δυνατόν με 1000 ακριβώς χαρτονομίσματα να σχηματίσουμε το ποσόν των 50.000 ευρώ ;
Η.Γ
Κορυφή
Γιάννης Σταυριανάκης
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 10, 2010 10:47 pm
Τοποθεσία: Bόλος

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Σταυριανάκης »

Για την 1η:
a^2 - 4a + b^2 + 10b + 20 = 0 \Leftrightarrow \left( a-2\right)^{2}+\left(b+5\right)^{2}=9 Στο πρώτο μέλος έχουμε άθροισμα 2 μη αρνητικών αριθμών άρα πρέπει το τετράγωνο τού καθένα να μήν ξεπερνά το 9. Για να ισχύει αυτό πρέπει -1\leq a\leq 5 και -8\leq b\leq -2 οπότε a>b
Μήπως γνωρίζει κανείς πότε βγαίνουν τα αποτελέσματα του Θαλή;
Κορυφή
stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 »

Για την 5η:
Έστω x αυτά το πλήθος των χαρτονομισμάτων με αξία 100, y αυτών με 10 και z αυτών με 1.
Ισχύει x,y,z\in \mathbb{N}, x+y+z=1000 και 100x+10y+z=50000.

100x+10y+z=50000\Rightarrow 99x+9y+x+y+z=50000\Rightarrow 99x+9y+1000=50000\Rightarrow 9(11x+y)=49000\Rightarrow 11x+y=\frac{49000}{9}

Όμως το \frac{49000}{9} δεν είναι φυσικός, ενώ το 11x+y είναι. Άρα δεν είναι δυνατόν.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος stavros11 την Δευ Δεκ 20, 2010 8:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa »

Θα απαντήσω και το 3ο ερώτημα, αλλά αυριο θα με κρεμάσει η κυρία Χειμαριού!!! χαχαχαχα
έστω ότι οι αριθμοί (n+1)^2, n(n-1) έχουν ίδιο άθροισμα ψηφίων, αυτό σημαίνει πως και η διαφορά τους θα είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 9, άρα έχουμε
(n+1)^2-n(n-1)=n^2+2n+1-n^2+n=3n+1\neq \pi o\lambda \lambda 3
άρα οι αριθμοί αυτοί έχουν διαφορετικά υπόλοιπα...
"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Κορυφή
BILL_FC
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 15, 2009 4:48 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BILL_FC »

Αν και Β Λυκείου θα μου επιτρέψετε να βάλω μια λύση για το 4ο...
Είναι x^{3}+ y^{2} \leq 64 \Rightarrow x^{3}\leq (8-y)(8+y) \Rightarrow x^{4} \leq x(8-y)(8+y) καθώς το χ είναι μαγαλύτερο από 0...

Άρα αρκεί να δειχθεί ότι: x (8-y) (8+y) + y^{3} \prec 512 \Rightarrow -x(y-8)(y+8) + y^{3}-512\prec 0 \Rightarrow (y-8)(y^{2}+8y+64-8x-xy)\prec 0

Όμως, από τη δοθείσα σχέση και επειδή x,y >0 , έχουμε ότι y<8 και x<4.

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι y^{2}+8y+64-8x-xy \succ 0
Είναι -x\succ -4\Rightarrow y^{2}+8y+64-8x-xy \succ y^{2}+8y+64-32-4y = y^{2}+4y +32 \succ 0 γιατί Δ=16-128=-112 <0

Συγχωρέστε με αν μου ξεφεύγει κάτι ή για τυχόν λάθη στο Latex μιας και το πρωτοχρησιμοποιώ :)
Βασίλης
Κορυφή
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

πολύ ωραίες οι λύσεις σας .

Θα ήθελα όλοι να δίνουν λύση άρα και παιδιά άλλων τάξεων και όποιος άλλος θέλει.

δίνω μια υπόδειξη για το 2 .

προσθαφαιρούμε το 4 , και δημιουργούμε τε τέλειο τετράγωνο (x - 2)^2 στο 1ο μέλος και στο δεύτερο θα βρούμε το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος.
Η.Γ
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Καρδαμίτσης Σπύρος

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος »

Τα αποτελέσματα του Θαλή θα έβγαιναν την Παρασκευή, μέχρι τώρα όμως δεν έχουν βγει, άρα αναμένονται από μέρα σε μέρα.
Καρδαμίτσης Σπύρος
Κορυφή
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

6) Στο εσωτερικό της ορθής γωνίας xΟy θεωρούμε σημείο Γ και στις πελυρές της Οx και Οy τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι μεγαλύτερη απο το διπλάσιο της ΟΓ.

7) Να λυθεί ως προς x η εξίσωση \frac{3a+1}{(a+x)} - \frac{a-1}{(a-x)} = \frac{2a(a^2-1)}{(x^2-a^2)} (τα κλάσματα ορίζονται και α πραγματικός) . Για ποιές θετικές ακέραιες τιμές του a οι ρίζες της είναι πρώτοι αριθμοί;

8) Έστω b,c τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a . Να δειχθεί ότι b^4 + b^2c^2 + c^4 > \frac{3}{4}a^4
Η.Γ
Κορυφή
stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 »

Εσφαλμένη Λύση.
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος stavros11 την Τρί Δεκ 21, 2010 5:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία chris

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris »

Ας βάλω μία έτσι για δείγμα :P
irakleios έγραψε: 8) Έστω b,c τα μήκη των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα a . Να δειχθεί ότι b^4 + b^2c^2 + c^4 > \frac{3}{4}a^4



\displaystyle b^4+b^2c^2+c^4\geq \frac{3}{4}a^4\Leftarrow 2b^4+2b^2c^2+2c^4\geq \frac{3}{2}a^4\Leftarrow (b^2+c^2)^2+b^4+c^4\geq \frac{3}{2}a^4\Leftarrow b^4+c^4\geq \frac{a^4}{2}\Leftarrow (b^2+c^2)^2-2b^2c^2\geq \frac{a^4}{2}\Leftarrow a^4\geq 4b^2c^2\Leftarrow a^2\geq 2bc\Leftarrow (b-c)^2\geq 0

που ισχύει με την ισότητα όταν είναι και ισοσκελές.
Στραγάλης Χρήστος
Κορυφή
BILL_FC
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 15, 2009 4:48 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BILL_FC »

Μία λύση για την 7..:
Από τη στιγμή που τα κλάσματα ορίζονται είναι:

\frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = \frac{2a(a^{2}-1)}{x^{2}-a^{2}} \Rightarrow \frac{3a+1}{a+x} - \frac{a-1}{a-x} = -\frac{2a(a^{2}-1)}{(a+x) (a-x)} \Rightarrow
(3a+1)(a-x) - (a-1)(a+x)= -2a(a^{2}-1) \Rightarrow
3a^{2} +a-3ax-x-a^{2}+a+x-ax= - 2a^{3}+2a \Rightarrow
2a^{2}-4ax +2a = - 2a^{3}+2a \Rightarrow -4ax = -2a^{3} - 2a^{2} \Rightarrow x=\frac{a^{2}+a}{2}=\frac{a(a+1)}{2}

Τώρα αν a \succ 2 θα έχουμε:
ι) α-> άρτιος, δηλαδή a=2k όπου k φυσικός(k>1). Όμως, τότε:
x =\frac{2k(2k+1)}{2} = k(2k+1) και ο x θα ήταν σύνθετος.

ή ιι) α-> περιττός, δηλαδή a=2k+1 όπου k φυσικός. Όμως, τότε:
x =\frac{(2k+1)(2k+2)}{2} = (k+1)(2k+1) και ο x θα ήταν σύνθετος.

Άρα μένει να ελέγξουμε για α=1 και α=2. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι μόνο το α=2 , δίνει πρώτο αριθμό (x=3).
Κορυφή
BILL_FC
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 15, 2009 4:48 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BILL_FC »

x^4+y^3<256+512=768\Rightarrow x^4+y^3<512
Χμ... Το γεγονός ότι x^4+y^3<256+512=768 δε συνεπάγεται με x^4+y^3<512. Ή όχι ; Πάντως, μπορεί π.χ. να είναι x^4+y^3=600 και τότε θα επαληθεύοταν η πρώτη σχέση άλλα όχι και η δεύτερη...
Συγχωρέστε με αν κάπου κάνω λάθος.

Φιλικά,
Βασίλης
Κορυφή
stavros11
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 07, 2010 11:30 am
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stavros11 »

BILL_FC έγραψε:
x^4+y^3<256+512=768\Rightarrow x^4+y^3<512
Χμ... Το γεγονός ότι x^4+y^3<256+512=768 δε συνεπάγεται με x^4+y^3<512. Ή όχι ; Πάντως, μπορεί π.χ. να είναι x^4+y^3=600 και τότε θα επαληθεύοταν η πρώτη σχέση άλλα όχι και η δεύτερη...
Συγχωρέστε με αν κάπου κάνω λάθος.

Φιλικά,
Βασίλης
Συγγνώμη εγώ έκανα λάθος. Αφαιρώ την λύση. Ευχαριστώ για την υπόδειξη.
Κορυφή
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

Mία άλλη σκέψη για το 4 :

αρκεί να δείξω ότι x^4 + y^3 < 8(x^3 + y^2) ισοδύναμα x^3(x - 8) + y^2(y - 8) < 0 η οποία ισχύει αφού 0< x < 4 και 0 < y < 8.
Η.Γ
Κορυφή
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

9) Aν a , b , c τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου να δειχθεί ότι :

2 < \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}< 3

10) Για κάθε ακέραιο n > 2 να δείξετε ότι ο αριθμός \frac{n^3+(n+2)^3}{4} είναι ένας σύνθετος ακέραιος.

11) Αν a^2 + a^{-2} = 4 να υπολογιστεί το a^6 + a^{-6}
Η.Γ
Κορυφή
kanenas
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Σεπ 24, 2010 4:30 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kanenas »

Πραγματικά πολύ ωραία τα θέματα. Μήπως θα μπορούσατε να βάλετε θέματα για προετοιμασία για την Γ' Γυμνασίου;
Κορυφή
irakleios
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 1:20 pm

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Α λυκείου

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από irakleios »

δές εδώ viewtopic.php?f=58&t=11871
Η.Γ
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης