Γενικός Ορος Ακολουθίας

strat92man · #1

Καταρχάς Χρόνια πολλά.!

Δίνεται η ακολουθία $a_{n} ,,,, a_{0}= a_{1}=1 ,,,,,, a_{n}= a_{n+1} + a_{n-2}$ n>=3
Να αποδειχθεί ότι ο Γενικός Όρος $a_{n}$ δίνεται από την ισότητα

$a_{n}= \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n})$

δηλαδή

$a_{n} =ak^{n}+bl^{n}$ α,β,κ,λ θετικα και λ<κ

Ευχαριστώ!

Ιστοσελίδα · #2

O n-οστός όρος της ακολουθίας θα πρέπει να εκφράζεται από τον n-1 όρο και τον n-2 όρο.
Επομένως μήπως ο νιοστός όρος της ακολουθίας είναι αναδρομικά εκφραζόμενος ως
$\displaystyle{ a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2} }$
;;;

Επιπλέον με βάση τον n - οστό όρο της ακολουθίας που θέλουμε να δείξουμε ο όρος $\displaystyle{ a_o }$
πρέπει να είναι 0

Για ξανακοίταξε την

Ιστοσελίδα · #3

Θα αποδείξουμε ότι: Για μια αναδρομική ακολουθία δεύτερης τάξης $a_{n+2}=la_{n+1}+ka_n , n\in\mathbb{N^*}$ με την προυπόθεση ότι l^2+4k>0

, υπάρχουν δύο γεωμετρικές πρόοδοι (b_n) , (c_n)

, ώστε

Έστω $\lambda_1 , \lambda_2$ οι λόγοι των δύο γεωμετρικών προόδων αντίστοιχα, ζητάμε να ισχύει η σχέση:
$a_n=b_n+c_n=b_1\lambda_1^{n-1}+c_1\lambda_2^{n-1}$ για κάθε $n\in\mathbb{N^*}.$

Για n=1

και

έχουμε

και $a_2=b_1\lambda_1+c_1\lambda_2.$
Από τη λύση του συστήματος βρίσκουμε: $b_1=\dfrac{a_1\lambda_2-a_2}{\lambda_2-\lambda_1}$ και $c_1=\dfrac{a_2-a_1\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} ,$ με την προυπόθεση ότι $\lambda_1 \neq \lambda_2.$

Αρκεί να βρούμε τα $\lambda_1 , \lambda_2.$ Από την αναγωγικό τύπο έχουμε:
$b_{n+2}+c_{n+2}=l(b_{n+1}+c_{n+1})+k(b_n+c_n) \Leftrightarrow$
$b_1\lambda_1^{n+1}+c_1\lambda_2^{n+1}= l(b_1\lambda_1^{n}+c_1\lambda_2^{n})+k(b_1\lambda_1^{n-1}+c_1\lambda_2^{n-1}) \Leftrightarrow$
$b_1\lambda_1^{n-1}(\lambda_1^2-l\lambda_1-k)+c_1\lambda_2^{n-1}(\lambda_2^2-l\lambda_2-k)=0.$

Αρκεί να επιλέξουμε τα $\lambda_1 , \lambda_2$ ώστε $\lambda_1^2-l\lambda_1-k=0$ και $\lambda_2^2-l\lambda_2-k=0,$ δηλαδή τα $\lambda_1 , \lambda_2$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\lambda^2-l\lambda-k=0,$ της οποίας η διακρίνουσα είναι $\Delta=l^2+4k>0.$

Μπορούμε να διαπιστώσουμε εύκολα ότι το άθροισμα των δύο προόδων επαληθεύει τον αναγωγικό τύπο.

Η εξίσωση $\lambda^2-l\lambda-k=0,$ λέγεται χαρακτηριστική εξίσωση της αναδρομικής ακολουθίας.

Παρόμοια δουλεύουμε και όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές.

Στην περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες, αποδεικνύεται ότι η ακολουθία είναι γινόμενο μιας αριθμητικής προόδου και μιας γεωμετρικής προόδου.
Δηλαδή $a_n=[b_1+(n-1)\lambda_1]\cdot \lambda_2^{n-1}$ με $\lambda_2=\frac{l}{2},$ η διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Όπως προηγούμενα μπορούμε να βρούμε τα $b_1 , \lambda_1.$

Γενικός Ορος Ακολουθίας

Γενικός Ορος Ακολουθίας

Re: Γενικός Ορος Ακολουθίας

Re: Γενικός Ορος Ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση