Συναρτησιακή από Putnam

#1

Μια όμορφη άσκηση που χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα g(2x)=g(x) είχα δει σε κάποιον παλιό Putnam

Στην άσκηση αυτή ζητείται η εύρεση του τύπου μιας συνεχούς συνάρτησης όταν ικανοποιείται μια συναρτησιακή σχέση. Έτσι αν $f:[-1,1]\to R$ συνεχής συνάρτηση : $f(2x^2-1)=2xf(x), \forall x\in[-1,1]$ να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

Για ευκολία έχω κατασκευάσει μια σειρά 6 υποερωτημάτων αλλά νομίζω ότι χαλάει την ομορφιά γιατί κατευθύνουν την λύση. Αν δεν λυθεί θα τα ανεβάσω

dement · #2

Παρατηρουμε οτι η

ειναι περιττη και, αφου ειναι συνεχης, εχουμε f(0) = 0

.

Θετουμε $g \equiv f \circ \cos$ (με πεδιο ορισμου το $D_g = \mathbb{R}$ ), οποτε ο συναρτησιακος τυπος γινεται $g(2 \theta) = 2 \cos \theta g(\theta)$ . Οριζουμε τη συναρτηση

ως $u(x) \equiv g(x) \csc (x)$ με πεδιο ορισμου το $D_u = \mathbb{R} - \{ k \pi, k \in \mathbb{Z} \}$ . Παρατηρουμε οτι $u(\theta) = u( \theta / 2)$ .

Η

εχει περιοδο $\pi$ . Λογω της σχεσης $u(\theta) = u(\theta / 2)$ θα εχει και περιοδους $\pi/2, \pi/4, ...$ (εκτος απο απομονωμενα σημεια) οποτε, λογω συνεχειας, θα ειναι σταθερη. Ισχυει $u (\pi / 2) = g (\pi / 2) = f(0) = 0$ . Αρα η

ειναι παντου

.

Δημητρης Σκουτερης

#3

R BORIS έγραψε: αν $f:[-1,1]\to R$ συνεχής συνάρτηση : $f(2x^2-1)=2xf(x), \forall x\in[-1,1]$ να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

dement έγραψε: <...> Αρα η ειναι παντου .

Δημήτρη, δεν διάβασα με προσοχή την λύση σου, αλλά μου φαίνεται ότι η
f(x) = ημ(τοξσυνx) ικανοποιεί την συνθήκη.
Πράγματι, βάζοντας x = συνy η f αυτή γράφεται f(συνy) = ημy. Έτσι
f(2x^2-1) = f(2(συνy)^2 - 1) = f(συν(2y)) = ημ(2y) = 2ημyσυνy = 2xf(συνy) = 2xf(x).

Κάνω λάθος;

Φιλικά,

Μιχάλης.

dement · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δημήτρη, δεν διάβασα με προσοχή την λύση σου, αλλά μου φαίνεται ότι η
f(x) = ημ(τοξσυνx) ικανοποιεί την συνθήκη.

Καλημερα κυριε Λαμπρου.

Ενας πιο απλος τυπος γι' αυτη τη συναρτηση ειναι ο $\sqrt{1 - x^2}$ , ο οποιος ομως δεν αντιστοιχει σε περιττη συναρτηση (οπως πρεπει να ειναι η

). Αν παλι επιλεξουμε να του αλλαξουμε προσημο στους αρνητικους, χανουμε τη συνεχεια στο

. Εχω δικιο;

Δημητρης Σκουτερης

#5

dement έγραψε: <...> Εχω δικιο;

Ναι, έχεις απόλυτο δίκιο. Ευχαριστώ για την διόρθωση.

Αξίζει να δούμε που είναι το λάθος μου σε αυτά που έγραψα, γιατί είναι κρυμμένο.
Ομολογώ μου πήρε κάποια ώρα να εντοπίσω το εσφαλμένο βήμα μου. Μπορείτε να το βρείτε, πριν διαβάσετε τα παρακάτω;

Λοιπόν, ισχυρίστηκα

η f(x) = ημ(τοξσυνx) ικανοποιεί την συνθήκη.
Πράγματι, βάζοντας x = συνy η f αυτή γράφεται f(συνy) = ημy. Έτσι
f(2x^2-1) = f(2(συνy)^2 - 1) = f(συν(2y)) = ημ(2y) = 2ημyσυνy = 2xf(συνy) = 2xf(x).

Όμως:
Η ισότητα f(συνy) = ημy, βάζοντας όπου y το 2y, περιέργως δεν δίνει
f(συν(2y)) = ημ(2y).
Πράγματι, η σχέση x = συνy εννοεί κρυφά ότι το y ανήκει στο [0, π] (γιατί αυτό είναι το πεδίο ορισμού της τοξσυν). Αλλά τότε το 2y δεν είναι κατ' ανάγκη στο πεδίο ορισμού της τοξσυν, οπότε δεν έχει πάντα νόημα το f(συν(2y)).

Ευχαριστώ Δημήτρη.

Φιλικά,

Μιχάλης

dement · #6

Εμεις ευχαριστουμε κ. Λαμπρου. Η αναλυση των 'κακοτοπιων' μιας ασκησης ειναι εξισου σημαντικη με, αν οχι σημαντικοτερη απο, τη λυση της.

Δημητρης Σκουτερης

#7

δίνω τα βοηθητικά ερωτήματα και την λύση μου

Α) Δείξτε ότι $f(-x)=-f(x),x\in [-1,0)\cup (0,1]$
Β) Χρησιμοποιείστε την συνέχεια ώστε να δείξετε ότι f περιττή.
Γ) Τώρα υπολογίστε τους αριθμούς f(0),f(1),f(-1)

Μπορείτε πια να περιοριστείτε στο διάστημα (0,1) .Τα υπόλοιπα αφήστε τα στην συμμετρία.
Δ) Η παράσταση 2x^2-1

και το διάστημα [-1,1] ή (0,1) θυμίζουν! κάποιον τριγωνομετρικό τύπο. Γι ‘αυτό να θέσετε : $x=cos(\phi), \phi \in (0,\pi/2 )$ όταν το x βρίσκεται στο (0,1)και $\displaystyle g(\phi)=\frac{f(cos\phi )}{sin(\phi )}$ . Έτσι να δείξετε ότι : g(2φ)=g(φ)
Ε) Τώρα δείξτε ότι $\displaystyle g(\frac{\phi}{2^n})=g(\phi}), n\in N$
ΣΤ)Από την συνέχεια της g μπορείτε τώρα να βρείτε τον τύπο της και βέβαια και τον τύπο της f . Η συμμετρία θα επεκτείνει τα αποτελέσματά σας σε όλο το [-1,1]

Η λύση στο συνημμένο

mathxl · #8

Χαχα Ροδόλφε το έγγραφο είναι κενό

#9

mathxl έγραψε:Χαχα Ροδόλφε το έγγραφο είναι κενό

Το διόρθωσα

Συναρτησιακή από Putnam

Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Re: Συναρτησιακή από Putnam

Μέλη σε σύνδεση