A Λυκείου Άλγεβρα. Απλοποίηση ριζικών.

#1

Να αποδείξετε ότι η παράσταση

$\sqrt[\nu ]{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}\; \; +\; \; \sqrt[\nu ]{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}$

$\bullet$ για ν=2 ισούται με $1+\sqrt{5}$

$\bullet$ για ν=4 ισούται με $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα! Και Χρόνια Πολλά!
έστω $A=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}$
1. αν ν=2 τότε
$A=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\sqrt{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\sqrt{4+4\sqrt{5}+5-8-4\sqrt{5}}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\Leftrightarrow A^2=\left(1+\sqrt{5} \right)^2\Leftrightarrow A=1+\sqrt{5}$
2. αν ν=4 τότε
$A=\sqrt[4]{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}\Leftrightarrow A^2=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+2\sqrt[4]{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}$
όμως
$\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}$
άρα
$A^2={\color{red} \sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+2\sqrt[4]{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}}\Leftrightarrow A^2={\color{red} 1+\sqrt{5}}+2\Leftrightarrow A=\sqrt{3+\sqrt{5}}$

#3

Stavroulitsa έγραψε:Καλησπέρα! Και Χρόνια Πολλά!
έστω $A=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}$
1. αν ν=2 τότε
$A=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\sqrt{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\sqrt{4+4\sqrt{5}+5-8-4\sqrt{5}}\Leftrightarrow A^2=4+2\sqrt{5}+2\Leftrightarrow A^2=\left(1+\sqrt{5} \right)^2\Leftrightarrow A=1+\sqrt{5}$
2. αν ν=4 τότε
$A=\sqrt[4]{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}\Leftrightarrow A^2=\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+2\sqrt[4]{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}$
όμως
$\sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}$
άρα
$A^2={\color{red} \sqrt{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+\sqrt{2+\sqrt{5}-2\sqrt{2+\sqrt{5}}}+2\sqrt[4]{(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})}}\Leftrightarrow A^2={\color{red} 1+\sqrt{5}}+2\Leftrightarrow A=\sqrt{3+\sqrt{5}}$

Aγαπητή Σταυρουλίτσα, παραλείποντας τις λεπτομέρειες και μένοντας στο μαθηματικό περιεχόμενο και το τεχνικό μέρος, πολλά συγχαρητήρια!!!

-primum....philosofari-
-pharos illuminans-

A Λυκείου Άλγεβρα. Απλοποίηση ριζικών.

A Λυκείου Άλγεβρα. Απλοποίηση ριζικών.

Re: A Λυκείου Άλγεβρα. Απλοποίηση ριζικών.

Re: A Λυκείου Άλγεβρα. Απλοποίηση ριζικών.

Μέλη σε σύνδεση