Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

#1

Να λυθούν οι εξισώσεις:

1. $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}=\sqrt{x+100}$

2. $\left(\frac{x+1}{x-2} \right)^2+\frac{x+1}{x-3}=12\left( \frac{x-2}{x-3}\right)^2$

3. $\frac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3$

4. $\frac{3}{(x+1)(x+4)}+\frac{3}{(x+4)(x+7)}+\frac{3}{(x+7)(x+10)}=\frac{9}{4x-2}$

5. $2x^4-21x^3+74x^2-105x+50=0,\left(\frac{E}{A}=\frac{\Delta ^2}{B^2} \right)$

6. $\frac{2}{2x^2-5x+3}+\frac{13}{2x^2+x+3}=\frac{6}{x}$

Ιστοσελίδα · #2

Δοκιμάζω την 3η

Αρχικά πρέπει και αρκεί
$\displaystyle{ x^3 + x^2 - x \ne 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} {x \ne 0} & \wedge & {x^2 + x - 1 \ne 0} \\ \end{array}} \right) }$

και η εξίσωση μετασχηματίζεται με τον χιαστί πολλαπλασιασμό σε

$\displaystyle{ x^4 + 3x^2 + 1 = 3x^3 + 3x^2 - 3x \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ x^4 - 3x^3 + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ (x^4 + 1) - 3x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ (x^4 - 2x^2 + 1 + 2x^2 ) - 3x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ (x^2 - 1)^2 - 3x(x^2 - 1) + 2x^2 = 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ \frac{{(x^2 - 1)^2 }}{{x^2 }} - \frac{{3x(x^2 - 1)}}{{x^2 }} + \frac{{2x^2 }}{{x^2 }} = 0 }$
εφόσον το χ είναι διάφορο του μηδενός και συνεχίζουμε…..

$\displaystyle{ \left[ {\frac{{(x^2 - 1)}}{x}} \right]^2 - \frac{{3(x^2 - 1)}}{x} + 2 = 0 }$

θέτουμε

$\displaystyle{ \frac{{x^2 - 1}}{x} = t }$ και εξίσωση μετασχηματίζεται σε

$\displaystyle{ t^2 - 3t + 2 = 0 }$

με ρίζες το 1 και το 2 και διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Αν $\displaystyle{ \frac{{x^2 - 1}}{x} = 1 \Leftrightarrow x^2 + x - 1 = 0 }$ τότε οι ρίζες της εξίσωσης αυτής απορρίπτονται λόγω των αρχικών περιορισμών

Αν $\displaystyle{ \frac{{x^2 - 1}}{x} = 2 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 }$
οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι οι

$\displaystyle{ x = 1 + \sqrt 2 }$ , $\displaystyle{ x = 1 - \sqrt 2 }$ που είναι δεκτές

Καλή χρονιά σε όλα τα μέλη του

#3

Κάτσε να δώσω την 4, γιατί μου γυάλισε.

Αρκεί:

$\displaystyle{ x \ne - 1, - 4, - 7, - 10,\frac{1}{2} }$

Τώρα η εξίσωση γράφεται(*):

$\displaystyle{ \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} + \frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} + \frac{1}{{x + 7}} - \frac{1}{{x + 10}} = \frac{9}{{4x - 2}} \Rightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 10}} = \frac{9}{{4x - 2}} }$

Τα πράγματα τώρα έγιναν πιό απλά...

$\displaystyle{ \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} + \frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} + \frac{1}{{x + 7}} - \frac{1}{{x + 10}} = \frac{9}{{4x - 2}} \Rightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 10}} = \frac{9}{{4x - 2}} }$

Απορρίπτουμε λόγω περιορισμών τη λύση χ=-4 και δεχόμαστε τη λύση χ=-3 αφού πρώτα επαληθεύσουμε.

(*)Προσπάθησα να γράψω κάθε κλάσμα στη μορφή: $\displaystyle{ \frac{A}{{(x + ...)}} + \frac{B}{{(x + ...)}} }$
με στόχο να προσδιορίσω τα Α,Β...

Καλή χρονιά σε όλους.

Ιστοσελίδα · #4

Δοκιμάζω και την 2η

Αρχικά πρέπει και αρκεί x διαφορετικό των 2, 3

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\displaystyle{ \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} \right)^2 \left( {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right)^2 + \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = 12\left( {\frac{{x - 2}}{{x - 3}}} \right)^2 }$

θέτουμε

$\displaystyle{ \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = t }$
τότε
$\displaystyle{ \frac{{x - 2}}{{x - 3}} = \frac{1}{t} }$

και για το τρίτο κλάσμα λύνω τον μετασχηματισμό ως προς χ

$\displaystyle{ \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = t \Rightarrow x = \frac{{3 - 2t}}{{1 - t}} }$ για t διάφορο του 1 οπότε

$\displaystyle{ \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = \frac{{\frac{{3 - 2t}}{{1 - t}} + 1}}{{\frac{{3 - 2t}}{{1 - t}} - 3}} = ... = \frac{{4 - 3t}}{t} }$ για t διαφορετικό του μηδενός

Και η αρχική εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{ \left( {\frac{{4 - 3t}}{t}} \right)^2 \cdot t^2 + \frac{{4 - 3t}}{t} = \frac{{12}}{{t^2 }} }$
όπου μετά την απαλοιφή των παρονομαστών γίνεται:

$\displaystyle{ (4 - 3t)^2 \cdot t^2 - 3t^2 + 4t - 12 = 0 }$
$\displaystyle{ (3t^2 - 4t)^2 - (3t^2 - 4t) - 12 = 0 }$

και χρονιάρες μέρες που είναι …..ξαναθέτω
$\displaystyle{ 3t^2 - 4t = m }$
και η εξίσωση γίνεται
$\displaystyle{ m^2 - m - 12 = 0 }$ με ρίζες $\displaystyle{ m = - 3 }$ , $\displaystyle{ m = 4 }$

τώρα για m = -3 o προηγούμενος μετασχηματισμός δίνει

$\displaystyle{ 3t^2 - 4t = - 3 \Leftrightarrow 3t^2 - 4t + 3 = 0 }$ που είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

και για m = 4 έχουμε :
$\displaystyle{ 3t^2 - 4t = 4 \Leftrightarrow 3t^2 - 4t - 4 = 0 }$
που έχει ρίζες $\displaystyle{ t = - \frac{2}{3} }$ , $\displaystyle{ t = 2 }$

και τελειώνουμε βάζοντας στον αρχικό μετασχηματισμό τις τιμές του t που βρήκαμε και προκύπτουν δύο πρωτοβάθμιες εξισώσεις οι

$\displaystyle{ \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = - \frac{2}{3} }$ που έχει ως λύση την $\displaystyle{ x = \frac{{13}}{5} }$

και την $\displaystyle{ \frac{{x - 3}}{{x - 2}} = 2 }$ που έχει ως λύση την x = 1

ουφ!!!!!!!!!

#5

Μία ζεϊμπεκιά για τη 2.

Έχω(περιορισμοί όμοιοι με του Σπύρου)

$\displaystyle{ (\frac{{x + 1}}{{x - 2}})^2 + \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\frac{{x - 2}}{{x - 3}} = 12(\frac{{x - 2}}{{x - 3}})^2 }$
(διαίρεσα και πολλαπλασίασα έναν όρο με x-2)

Θέτω:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} \\ b = \frac{{x - 2}}{{x - 3}} \\ \end{array}$

Τότε έχω:

$\displaystyle{ a^2 + ab = 12b^2 \Rightarrow \left( {\frac{a}{b}} \right)^2 + \frac{a}{b} = 12 \Rightarrow (\frac{a}{b})^2 + \frac{a}{b} - 12 = 0 \Rightarrow \frac{a}{b} = 3 \vee \frac{a}{b} = - 4 }$

Η πρώτη δίνει:

$\displaystyle{ \frac{a}{b} = 3 \Rightarrow \frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(x - 2)^2 }} = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 3x^2 - 12x + 12 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 15 = 0 }$

Αδύνατη αφού Δ=-20<0

Η δεύτερη δίνει:

$\displaystyle{ \frac{{(x + 1)(x - 3)}}{{(x - 2)^2 }} = - 4 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = - 4x^2 + 16x - 16 \Rightarrow 5x^2 - 18x + 13 = 0 }$

με λύσεις:

x=13/5 ή χ=1

οι οποίες απο τις επαληθεύσεις γίνονται δεκτές...

#6

Για την πρώτη συνέλαβα την παρακάτω λύση.(Με ύλη μέχρι Β'Λυκείου)

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $\displaystyle{ x \ge - 1 }$

Τότε γράφεται και:

$\displaystyle{ \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 4}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 9}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 16}}{{x + 100}}} = 1 }$

Είναι σχετικά απλό να δέιξουμε συνθετικά πως η συνάρτηση f με

$\displaystyle{ f(x) = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 4}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 9}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 16}}{{x + 100}}} - 1,x \ge - 1 }$

είναι γνησίως αύξουσα

Θα εργαστώ με το πρώτο ριζικό και τα υπόλοιπα αφήνονται ώς...άσκηση στον αναγνώστη.

Έστω x1,x2 με x1<x2.

Θεωρώ τη διαφορά:

$\displaystyle{ \frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}} - \frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}} = ... = \frac{{99(x_1 - x_2 )}}{{(x_1 + 100)(x_2 + 100)}} < 0 \Rightarrow \frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}} < \frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}} }$

αρα

$\displaystyle{ \sqrt {\frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}}} < \sqrt {\frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}}} }$

Και τα λοιπά...

Αυτό σημαίνει πως η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, ως άθροισμα γνησίων αυξουσών συναρτήσεων.

Αρα η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία λύση.

Παρατηρώ πως f(0)=0,

Συνεπώς η x=0 είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης, λόγω της μονοτονίας της f.

#7

rek2 έγραψε:Να λυθούν οι εξισώσεις:

1. $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}=\sqrt{x+100}$

...

Έστω $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης.

Έχουμε τότε

$\displaystyle{\sqrt{x+1}-1+\sqrt{x+4}-2+\sqrt{x+9}-3+\sqrt{x+16}-4=\sqrt{x+100}-10,}$

άρα

$\displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{x}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{x}{\sqrt{x+16}+4}=\frac{x}{\sqrt{x+100}+10}}$ .

Από εδώ φαίνεται ότι $\displaystyle{x=0}$ ή

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}=\frac{1}{\sqrt{x+100}+10}}$ (2)

Όμως, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz (ή Αριθμ. Μέσου-Αρμονικού Μέσου)

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x+100}+10}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}\geq \frac{16}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}+10}=}$

$\displaystyle{=\frac{16}{\sqrt{x+100}+10}}$ , άτοπο

(η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι το $\displaystyle{x}$ είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης).

#8

Αισθάνομαι "λίγος" μπροστά σην ορμή σας!!

Βάζω δύο ακόμα!!

Καλή χρονιά!!!

#9

chris_gatos έγραψε:Για την πρώτη συνέλαβα την παρακάτω λύση.(Με ύλη μέχρι Β'Λυκείου)

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $\displaystyle{ x \ge - 1 }$

Τότε γράφεται και:

$\displaystyle{ \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 4}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 9}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 16}}{{x + 100}}} = 1 }$

Είναι σχετικά απλό να δέιξουμε συνθετικά πως η συνάρτηση f με

$\displaystyle{ f(x) = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 4}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 9}}{{x + 100}}} + \sqrt {\frac{{x + 16}}{{x + 100}}} - 1,x \ge - 1 }$

είναι γνησίως αύξουσα

Θα εργαστώ με το πρώτο ριζικό και τα υπόλοιπα αφήνονται ώς...άσκηση στον αναγνώστη.

Έστω x1,x2 με x1<x2.

Θεωρώ τη διαφορά:

$\displaystyle{ \frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}} - \frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}} = ... = \frac{{99(x_1 - x_2 )}}{{(x_1 + 100)(x_2 + 100)}} < 0 \Rightarrow \frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}} < \frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}} }$

αρα

$\displaystyle{ \sqrt {\frac{{x_1 + 1}}{{x_1 + 100}}} < \sqrt {\frac{{x_2 + 1}}{{x_2 + 100}}} }$

Και τα λοιπά...

Αυτό σημαίνει πως η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση, ως άθροισμα γνησίων αυξουσών συναρτήσεων.

Αρα η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία λύση.

Παρατηρώ πως f(0)=0,

Συνεπώς η x=0 είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης, λόγω της μονοτονίας της f.

Χρήστο, θα δοκιμάσω την λύση σου στον πίνακα! Η δυσκολία, υποθέτω, ότι θα είναι σε αυτό το "άθροισμα αυξουσών".

Καλή Χρονιά!

#10

matha έγραψε:
rek2 έγραψε:Να λυθούν οι εξισώσεις:

1. $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}=\sqrt{x+100}$

...

Έστω $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης.

Έχουμε τότε

$\displaystyle{\sqrt{x+1}-1+\sqrt{x+4}-2+\sqrt{x+9}-3+\sqrt{x+16}-4=\sqrt{x+100}-10,}$

άρα

$\displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{x}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{x}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{x}{\sqrt{x+16}+4}=\frac{x}{\sqrt{x+100}+10}}$ .

Από εδώ φαίνεται ότι $\displaystyle{x=0}$ ή

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}=\frac{1}{\sqrt{x+100}+10}}$ (2)

Όμως, από την ανισότητα Cauchy-Schwarz (ή Αριθμ. Μέσου-Αρμονικού Μέσου)

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x+100}+10}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}+\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+16}+4}\geq \frac{16}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}+\sqrt{x+16}+10}=}$

$\displaystyle{=\frac{16}{\sqrt{x+100}+10}}$ , άτοπο

(η τελευταία ισότητα ισχύει λόγω του ότι το $\displaystyle{x}$ είναι ρίζα της αρχικής εξίσωσης).

Έξυπνη λύση!!

Αγαπητέ Θάνο σου εύχομαι Καλή Χρονιά!!

#11

Κώστα γειά χαρά και χρόνια πολλά!

Όντως αυτό το σημείο είναι ''μελανό'' για τη Β'Λυκείου.

Μπορούμε όμως να κάνουμε για...όλα τα ριζικά το ίδιο και με μία πρόσθεση κατά μέλη ούτε...gata ούτε ζημιά!

Ιστοσελίδα · #12

Η 5 τελικά είναι εύκολη , παρατηρώντας ότι το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν έχει ρίζα το 1 άρα με Horner παραγοντοποιούμε και έχουμε

$\displaystyle{ (x - 1)(2x^3 - 19x^2 + 55x - 50) = 0 }$

Πάλι με Horner η δεύτερη ρίζα είναι το 2 οπότε

$\displaystyle{ (x - 1)(x - 2)(2x^2 - 15x + 25) = 0 }$

και τελικά έχουμε τέσσερεις πραγματικές ρίζες τις

x = 1,2,5, 5\2

#13

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Η 5 τελικά είναι εύκολη , παρατηρώντας ότι το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν έχει ρίζα το 1 άρα με Horner παραγοντοποιούμε και έχουμε

$\displaystyle{ (x - 1)(2x^3 - 19x^2 + 55x - 50) = 0 }$

Πάλι με Horner η δεύτερη ρίζα είναι το 2 οπότε

$\displaystyle{ (x - 1)(x - 2)(2x^2 - 15x + 25) = 0 }$

και τελικά έχουμε τέσσερεις πραγματικές ρίζες τις

x = 1,2,5, 5\2

Σπύρο, έχεις δίκιο!!
Απλά έχει ενδιαφέρον η λύση που στηρίζεται στην παρατήρηση που γράφω στην παρένθεση της εκφώνησης!

Να είσαι πάντα καλά!

Καλή Χρονιά!

( και με τη πρώτη ευκαιρία ... Ροζαλία!)

#14

Mία ακόμη γυροβολιά για την 6(με υπόκρουση Τρελέγκα...)

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $\displaystyle{ x \ne \frac{3}{2},1,0 }$

Μπορεί να γραφεί και ως εξής:

$\displaystyle{ \frac{2}{{2x + \frac{3}{x} - 5}} + \frac{{13}}{{2x + \frac{3}{x} + 1}} = 6 }$

Θέτω $\displaystyle{ y = 2x + \frac{3}{x} }$

Τότε γίνεται:

$\displaystyle{ \frac{2}{{y - 5}} + \frac{{13}}{{y + 1}} = 6(y \ne 5, - 1) \Rightarrow ....2y^2 - 13y + 11 = 0 \Rightarrow y = \frac{{11}}{2} \vee y = 1 }$

Δεκτές.

Τώρα προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 2x + \frac{3}{x} = \frac{{11}}{2} \\ 2x + \frac{3}{x} = 1 \\ \end{array} }$

ή

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 4x^2 - 11x + 6 = 0 \\ 2x^2 - x + 3 = 0 \\ \end{array} }$

οι οποίες δίνουν

$\displaystyle{ x = 2 \vee x = \frac{3}{4} }$

Δεκτές;

Μάλλον...

Λοιπόν σας αφήνω γιατί αν συνεχίσω έτσι θα με καπελώσει με τους κουραμπιέδες...

Με το δεξί....

Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Re: Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές.

Μέλη σε σύνδεση