Mία συναρτησιακή

irakleios · #1

Δεν ξέρω αν έχει ξανασυζητηθεί .

Ας είναι $f:\Big[0,1\Big] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=f(1)

και ας είναι $n \in \mathbb{N} \ n \ge 2$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $x \in (0,1)$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{ f(x)=f\left( x+\frac{1}{n} \right)}$

#2

Είναι, νομίζω, μια κλασική άσκηση στις συνεχείς συναρτήσεις

Ας δουλέψουμε με απαγωγή σε άτοπο, υποθέτοντας ότι $f(x+ \frac {1}{n})-f(x) \neq 0, \forall x \in [0,1]$

Άρα αν θεωρήσουμε τη συνεχή στο $[0,\frac {n-1}{n}]$ συνάρτηση $g(x)= f(x+ \frac {1}{n})-f(x)$

παρατηρούμε ότι δεν μηδενίζεται, συνεπώς δεν αλλάζει πρόσημο

Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι $g(x)>0, \forall x \in [0,\frac {n-1}{n}]$ , δηλαδή

$f(\frac {1}{n})-f(0)>0$

$f( \frac {2}{n})-f( \frac {1}{n})>0$

...

$f(1)-f(\frac {n-1}{n})>0$

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε f(1)-f(0)>0

, άτοπο.

Καλή χρονιά

Mία συναρτησιακή

Mία συναρτησιακή

Re: Mία συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση