Επαναληπτική

Ιστοσελίδα · #1

Μια …. παντρεμένη επαναληπτική, ελπίζω να σας αρέσει...

Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2 ,x_2 ,...}$ είναι οι θετικές ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{\sigma \varphi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}$ τότε:

α) Να δείξετε ότι οι παραπάνω λύσεις είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου της οποίας να βρείτε τον νιοστό όρο.

β) Να βρείτε το άθροισμα $\displaystyle{S_{60} }$ των 60 πρώτων διαδοχικών όρων της προόδου, καθώς και ποιος όρος της προόδου ισούται με $\displaystyle{\frac{{2006\pi }}{3}}$ .

γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση: $\displaystyle{ x_1 \cdot x^3 + x_2 \cdot x^2 + x_1 \cdot x - 5 \cdot \frac{{S_{60} }}{{1810}} = 0}$

EDIT: Έγινε διόρθωση στο β ερώτημα μετά από υπόδειξη του Λευτέρη όπου και τον ευχαριστώ πολύ.

#2

α) Για $\displaystyle{x \neq kpi,\ k \in \mathbb{Z}}$ , έχουμε ότι:
$\displaystyle{ \sigma \phi x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow \sigma \phi x=\sigma \phi\left( -\frac{\pi}{3}\right)\Leftrightarrow x=k\pi-\frac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}}$ , που είναι δεκτές.

Έστω λοιπόν η ακολουθία $a_n,\ n \in \mathbb{N}^*$ με τύπο:
$\displaystyle{a_n=n\pi-\frac{\pi}{3},\ n \in \mathbb{N}^*}$ .
Αυτή εκφράζει μόνο τις θετικές ρίζες, αφού:
$\displaystyle{a_n>0 \Leftrightarrow n\pi-\frac{\pi}{3}>0 \Leftrightarrow n\pi>\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow n>\frac{1}{3}}$ , η οποία ισχύει, άρα και η αρχική.

Παίρνουμε τη διαφορά:
$\displaystyle{a_{n+1}-a_n=n\pi+\pi-\frac{\pi}{3}- n\pi+\frac{\pi}{3} =\pi}$ , που είναι σταθερό, άρα η a_n

είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\omega = \pi$ .

β) Έχουμε ότι: $\displaystyle{a_1=\frac{2\pi}{3}, \omega=\pi, n=60}$ ,

οπότε:

$\displaystyle{S_{60}=\frac{2\cdot \frac{2\pi}{3}+59\pi}{2}\cdot 60=…=1.810\pi}$ .

Επίσης αναζητούμε $n \in \mathbb{N}^*$ , τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{a_n=\frac{2006\pi}{3} \Leftrightarrow n\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2006\pi}{3} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow n\pi=\frac{\pi}{3}+\frac{2006\pi}{3} \Leftrightarrow n=669}$ ,

άρα ο $\displaystyle{a_{669}=\frac{2.006\pi}{3}}$ (εξακοσιοστός εξηκοστός ένατος και παρολίγο σατανικός

).

γ) Ισχύει ότι: $\displaystyle{x_1=a_1=\frac{2\pi}{3}, x_2=a_2=\frac{5\pi}{3}, x_3=a_3=\frac{8\pi}{3}$ , οπότε η εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle{\frac{2\pi}{3}x^3+\frac{5\pi}{3}x^2+\frac{8\pi}{3}x-5 \cdot \frac{1.810\pi}{1.810}=0 \Leftrightarrow \frac{2}{3}x^3+\frac{5}{3}x^2+\frac{8}{3}x-5 =0 \Leftrightarrow 2x^3+5x^2+8x-15=0 \Leftrightarrow x=1 }$ ,
αφού το τριώνυμο που προκύπτει 2x^2+7x+15

έχει αρνητική διακρίνουσα, άρα μη πραγματικές ρίζες.

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση