Ένα οχτάρι σε ισόπλευρο τρίγωνο

[PanosG]

Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1.
(Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)

[Μιχάλης Νάννος]

Φέρω τη μεσοκάθετο – διχοτόμο ΑΜ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ. Το σημείο που ψάχνουμε θα ανήκει στην ΑΜ για να μπορεί ο ένας απ’ τους δύο ίσους κύκλους (Ο, OK) να εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ. Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΒΜ προκύπτει . Θέτω ρ την ακτίνα του κύκλου, επομένως . Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΟ έχω: , οπότε με αντικατάσταση της προηγούμενης σχέσης παίρνουμε .

isoplevro.png (18.6 KiB) Προβλήθηκε 2095 φορές

[PanosG]

Άψογος και με τέλειο σχήμα όπως πάντα.

[ctheofi]

Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1.
(Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)

Πάντως εγώ σ' αυτό το πρόβλημα {αν δεν συνοδεύεται απ' το συνημμένο σκίτσο} βρίσκω:

[irakleios]

Μου επιτρέπεται μια επέκταση ;

Ποιό θα είναι το μεγαλύτερο οχτάρι πάνω από το παραπάνω οχτάρι ; (ο κάτω κύκλος του μικρού οχταριού να εφάπτεται του πάνου κύκλου του μεγάλου οχταριού).

Σκέφτομαι αν μπορεί τελικά να δημιουργηθεί μια ακολουθία τέτοιων οχταριών και αν μπορεί να βρεθεί κάποιος αναγωγικός τύπος. Το ερώτημα είναι τελείως αυθόρμητο...τώρα θα το κοιτάξω και εγώ.

[Μιχάλης Νάννος]

Άψογος και με τέλειο σχήμα όπως πάντα.

Να 'σαι καλά Παναγιώτη.

Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1.
(Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)

Πάντως εγώ σ' αυτό το πρόβλημα {αν δεν συνοδεύεται απ' το συνημμένο σκίτσο} βρίσκω:

ctheofi αν θες ξανακοίταξε τη λύση σου (τι θέλεις να πεις με τη φράση "αν δεν συνοδεύεται απ' το συνημμένο σκίτσο";).
Η Geogebra δίνει το παρακάτω σχήμα με το αποτέλεσμά σου.

ctheofi.png (8.98 KiB) Προβλήθηκε 2019 φορές

[ctheofi]

Φίλε Μιχάλη,

αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος. Αυτό είναι και το μέγιστο "οκτάρι" που ανταποκρίνεται στο πρόβλημα: "Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. (Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)"
Έτσι δεν είναι?

Χρήστος Θεοφιλάτος

[irakleios]

Φίλε Μιχάλη,

αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος. Αυτό είναι και το μέγιστο "οκτάρι" που ανταποκρίνεται στο πρόβλημα: "Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. (Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)"
Έτσι δεν είναι?

Χρήστος Θεοφιλάτος

xμ...μάλλον επειδή το οχτάρι το έχουμε συνηθίσει όρθιο 8 και όχι οο αλλά απο τη στιγμή που η εκφώνηση λέει ότι θέλουμε να χωράει το οχτάρι...δεν μας περιορίζει πως θα το τοποθετήσουμε...(ή όχι ; )

[Μιχάλης Νάννος]

Φίλε Μιχάλη,

αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος. Αυτό είναι και το μέγιστο "οκτάρι" που ανταποκρίνεται στο πρόβλημα: "Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. (Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)"
Έτσι δεν είναι?

Χρήστος Θεοφιλάτος

Αγαπητέ Χρήστο,

Θα συμφωνήσω ότι το 8άρι που προτείνεις είναι σαφώς μεγαλύτερο από αυτό που βρήκα. Είναι όμως 8άρι ή μόνο όταν το κοιτάς υπό γωνία;
Με την ίδια λογική το σύμβολο του απείρου είναι 8άρι και αντίστροφα.
Αν δεν υπήρχε σχήμα, σύμφωνα με την εκφώνηση του Παναγιώτη πάλι την ίδια λύση θα έδινα.

Φιλικά,

[rek2]

Φίλε Μιχάλη,

αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος. Αυτό είναι και το μέγιστο "οκτάρι" που ανταποκρίνεται στο πρόβλημα: "Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. (Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)"
Έτσι δεν είναι?

Χρήστος Θεοφιλάτος

Αγαπητέ Χρήστο,

Θα συμφωνήσω ότι το 8άρι που προτείνεις είναι σαφώς μεγαλύτερο από αυτό που βρήκα. Είναι όμως 8άρι ή μόνο όταν το κοιτάς υπό γωνία;
Με την ίδια λογική το σύμβολο του απείρου είναι 8άρι και αντίστροφα.
Αν δεν υπήρχε σχήμα, σύμφωνα με την εκφώνηση του Παναγιώτη πάλι την ίδια λύση θα έδινα.

Φιλικά,

Το ισόπλευρο το σχεδιάζουμε υπό γωνία, έτσι, ώστε να κοιτάμε το οχτάρι κανονικά...

[ctheofi]

Αυτό ακριβώς λέω κι εγώ, θέλοντας να προλάβω τις όποιες παρόμοιες αντιρρήσεις, γράφοντας: "φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος"

Θα συμφωνήσω ότι το 8άρι που προτείνεις είναι σαφώς μεγαλύτερο από αυτό που βρήκα. Είναι όμως 8άρι ή μόνο όταν το κοιτάς υπό γωνία;
Με την ίδια λογική το σύμβολο του απείρου είναι 8άρι και αντίστροφα.
Αν δεν υπήρχε σχήμα, σύμφωνα με την εκφώνηση του Παναγιώτη πάλι την ίδια λύση θα έδινα.

Τότε κατά την άποψή μου η λύση σου δεν θά 'ταν σωστή, αφού ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ δεν έχει εξ ορισμού και κάποια πλευρά του οριζόντια. Δεν χρειάζεται συνεπώς να κοιτάξουμε το "οκτάρι" υπό γωνία, αλλ' απλώς να σχεδιάσουμε καταλλήλως το ισόπλευρο τρίγωνο...



Χρήστος Θεοφιλάτος

[PanosG]

Φίλε Μιχάλη,

αν δεν αφήσουμε το σκίτσο να καθοδηγήσει τη σκέψη μας και περιοριστούμε στην εκφώνηση του προβλήματος, τότε φανταζόμενοι την πλευρά ΑΒ του ισοπλεύρου τριγώνου όρθια, δηλ. κατά την έννοια της κατακορύφου, το μέγιστο "οκτάρι" σχηματίζεται από δύο άλλους κύκλους, εφαπτόμενους μεταξύ τους και στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ο ένας, ενώ στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ ο άλλος. Αυτό είναι και το μέγιστο "οκτάρι" που ανταποκρίνεται στο πρόβλημα: "Βρειτε το μεγαλύτερο "οχτάρι" που χωράει σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1. (Οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται)"
Έτσι δεν είναι?

Χρήστος Θεοφιλάτος

Χρήστο έχεις δίκιο επειδή η εκφώνηση αφήνει περιθώρια διαφορετικής ερμηνείας (τι είναι οχταρι τελικά;) γι αυτό έκανα και ένα πρόχειρο σχήμα για να γίνει πιο σαφής

[Μιχάλης Νάννος]

Οκ, κατάλαβα το λάθος μου...
Έπεσα θύμα της παραπειστικής εκφώνησης (ίσως και του σχήματος)...οπότε κόβομαι.
Έχω κάνει αρκετά λάθη την τελευταία περίοδο που θα πρέπει να σκεφτώ αν θα πρέπει να εκτεθώ ανεβάζοντας ασκήσεις ή λύσεις.
Ίσως είναι πιο "βολικό" να παραμονεύω στη γωνία και να λιθοβολήσω όποιον διαπράξει το σφάλμα, ίσως είναι καλύτερα να μην κάνω τίποτα...

Αφιερωμένο...

infinity.gif (8.09 KiB) Προβλήθηκε 1927 φορές

[irakleios]

Οκ, κατάλαβα το λάθος μου...
Έπεσα θύμα της παραπειστικής εκφώνησης (ίσως και του σχήματος)...οπότε κόβομαι.
Έχω κάνει αρκετά λάθη την τελευταία περίοδο που θα πρέπει να σκεφτώ αν θα πρέπει να εκτεθώ ανεβάζοντας ασκήσεις ή λύσεις.
Ίσως είναι πιο "βολικό" να παραμονεύω στη γωνία και να λιθοβολήσω όποιον διαπράξει το σφάλμα, ίσως είναι καλύτερα να μην κάνω τίποτα...

Ϊσως δεν με αφορά αλλά εάν υπάρχει κάποιος εδώ μέσα που δεν έχει κάνει σφάλματα τότε θα έλεγα κατά το Ο αναμάρτητος πρώτος τόν λίθον βαλέτω να έρθει να κρίνει!!!

Να υπενθυμίσω ότι υπάρχουν και τα πμ.