Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

ctheofi · #1

Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, η διάμετρος αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας.
Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά όμως ως προς το κέντρο Ο, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν την περιφέρεια στα Μ' και Ν' αντιστοίχως.
Να δειχθεί ότι η χορδή Μ'Ν' διέρχεται από σταθερό σημείο.

Φιλικά
Χρ. Θεοφιλάτος

Ιστοσελίδα · #2

Υπόδειξη :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #3

Οπτικά :

: sot.png (52.52 KiB) Προβλήθηκε 2467 φορές

ctheofi · #4

ctheofi έγραψε:Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, η διάμετρος αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας.
Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά όμως ως προς το κέντρο Ο, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν την περιφέρεια στα Μ' και Ν' αντιστοίχως.
Να δειχθεί ότι η χορδή Μ'Ν' διέρχεται από σταθερό σημείο.

Φιλικά
Χρ. Θεοφιλάτος

Για να διακρίνουμε ποιο είναι το σταθερό σημείο, ας δούμε τι συμβαίνει με την Μ'Ν' όταν φανταστούμε:
α) Τα Μ και Ν να πλησιάζουν πάρα πολύ το κέντρο Ο, δηλ. ΟΜ=ΟΝ~=0 και
β) Τα Μ και Ν να καταλαμβάνουν τα άκρα της διαμέτρου ΑΒ...
Η συνέχεια ελπίζω εύκολη...

Φιλικά
Χρ. Θεοφιλάτος

ctheofi · #5

Παρατήρηση

Η άσκηση θα μπορούσε να τεθεί και πιο γενικά ως εξής:

Έστω περιφέρεια κέντρου Ο, σταθερή χορδή αυτής ΑΒ και σταθερό σημείο Σ της περιφέρειας.
Επί της ΑΒ παίρνουμε τυχόντα σημεία Μ και Ν συμμετρικά ως προς το μέσον Ο της ΑΒ, (δηλ. έτσι ώστε ΟΜ=ΟΝ) και φέρνουμε τις ΣΜ και ΣΝ, που τέμνουν την περιφέρεια στα Μ' και Ν' αντιστοίχως.
Να δειχθεί ότι η χορδή Μ'Ν' διέρχεται από σταθερό σημείο.

Χρ. Θεοφιλάτος

#6

Την επαναφέρω γιατί κάπου την ξεχάσαμε και είναι πολύ καλή.
Θα επανέλθω με λύση σε επόμενο ποστ.

S.E.Louridas · #7

Θεωρούμε Ρ το συμμετρικό του Σ ως προς το κέντρο του κύκλου Ο και Δ το σημείο τομής της Μ΄Ν΄ με την ΑΒ. Αν αποδείξουμε ότι η ΔΡ είναι εφαπτομένη του κύκλου τελειώσαμε. Έστω Κ σημείο της ΣΜ΄ ώστε Ν΄Κ παράλληλη της ΑΒ πού τέμνει την ΣΡ στο Ι και ας ονομάσουμε Η το μέσον της Ν΄Μ΄. Έχουμε:
$IH\parallel \Sigma {\rm K} \Rightarrow \angle HIP = \angle M{'} \Sigma {\rm P} = \angle M{'} N{'} {\rm P} \Rightarrow IHPN{'} \,\varepsilon \gamma \gamma \rho . \Rightarrow \angle O\Delta N{'} = \angle IN{'} H = \angle IPH,$
που σημαίνει ότι το ΟΔΡΗ είναι εγγράψιμμο με
$\angle OH\Delta = 90^ \circ \Rightarrow \angle OP\Delta = 90^ \circ .$

: σταθερό σημείο.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 2315 φορές

(*) Θεώρησα ΣΜ<ΣΝ (χωρίς βλάβη της γενικότητας)
(**) Αν το Σ είναι στην μεσοκάθετη του ΑΒ, πάμε σε ''επ' άπειρο'' σημείο ''τομής'' παραλλήλων (απαραίτητα τα εισαγωγικά).

Ευχαριστώ πολύ τον Γιώργο (hsiodos) για το Μάθημα που μου έκανε επιτυχώς, όπως φαίνεται (Αναμενόμενο αφού πρόκειται για συνάδελφο υψηλής απόδοσης), του πώς να χειρίζομαι το Geogebra και πώς να το περνώ στο διαδίκτυο.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #8

Γιά την γενική περίπτωση όπου μιλάμε γιά χορδή ΑΒ (οχι διάμετρο) αρκεί να θεωρήσουμε το μεσο O_1

της χορδής ΑΒ και εργαζόμαστε κάνοντας τις ίδιες κινήσεις (θεωρούμε την ίδια παράλληλη από το ίδιο σημείο....) και βγάζουμε το τετράπλευρο ΟΗPΔ(*) εγγράψιμο.

(*) Edit: Απλά στην θέση του Γ τοποθετήσαμε το σωστό Ρ.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #9

Θα έπρεπε κατά την ταπεινή μου άποψη να λέει: σημεία Μ,Ν της χορδής ΑΒ, τέτοια ώστε: $AM = NB\;\kappa \alpha \iota \;AM \cap NB = \emptyset .$
Στην περίπτωση αυτή θα θεωρούσαμε το Ο΄ μέσο της ΜΝ.
► Ο, Ο΄,Η, Δ σημεία ομοκυκλικά, άρα: $\angle OHO{'} = \angle O\Delta O{'} .$
► Θεωρούμε: $K \in \Sigma M:M{'} K\parallel AB,I \equiv \Sigma O{'} \cap M{'} K,\alpha \rho \alpha \;KI = IM{'} \Rightarrow IH\parallel MM{'} .$
► Βλέπουμε όπως στην πρώτη παρέμβαση μας ότι τα σημεία Ι, Η, Ρ, Ν΄, είναι ομοκυκλικά. Επομένως :
$\angle O{'} \Delta {\rm H} = \angle O{'} OH\;\mu \varepsilon \;\angle KM{'} H = \angle O{'} PH \Rightarrow \angle O{'} OH = \angle O{'} PH \Rightarrow O,O{'} ,H,P,$
είναι σημεία του ίδιου κύκλου. Έτσι παίρνουμε ότι:
$\angle O\Delta H = \angle O\Delta O{'} + \angle O{'} \Delta H = \angle OHO{'} + \angle O{'} PH = \angle O{'} PO + \angle O{'} PH = \angle OPH,$
πράγμα που σημαίνει ότι τα σημεία Ο, Η, Ρ, Δ είναι ομοκυκλικά, δηλαδή
$\frac{\pi }{2} = \angle OH\Delta = \angle OP\Delta .$

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #10

Παραθέτω το σχήμα της άσκησης στην γενική της περίπτωση, μετά από την λύση στη περίπτωση αυτή στην άμεσα επάνω παρέμβαση μου.

Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Re: Χορδή διερχόμενη από σταθερό σημείο.

Μέλη σε σύνδεση