Συνέχεια

APOSTOLAKIS · #1

Έστω οι συναρτήσεις $f, g:R\rightarrow R$ με g συνεχής, g(x) > 0 για κάθε $x\epsilon R$ και f γνησίως φθίνουσα τέτοιες ώστε:
$(f(x)-f(y)(g(x)f(y)-g(y)f(x)\geq 0$ για κάθε $x,y\epsilon R$ . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.

#2

APOSTOLAKIS έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις $f, g:R\rightarrow R$ με g συνεχής, g(x) > 0 για κάθε $x\epsilon R$ και f γνησίως φθίνουσα τέτοιες ώστε:
$(f(x)-f(y)(g(x)f(y)-g(y)f(x)\geq 0$ για κάθε $x,y\epsilon R$ . Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.

Απο την δοθείσα ισχύει
$\displaystyle{ x< y \Rightarrow f(x)>f(y) \Rightarrow g(x)f(y)-g(y)f(x) \ge 0 \Rightarrow \frac {g(x)} {g(y)}\cdot f(y) > f(x) > f(y)$ (*).

Παίρνοντας όριο του

τείνοντος στο

η (*) από ισοσυγκλίνουσες και την συνέχεια της

δίνει ότι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow y-}f(x) = f(y)$ .

Όμοια για την περίπτωση του

τείνοντος στο

, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Δείτε και εδώ.

Συνέχεια

Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Re: Συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση